第三板块 层级Ⅱ 微专题Ⅱ 三类“动态圆”模型的应用（Word教参）-【创新方案】2024年高考物理二轮复习专题辅导与测试（新教材）

|强化“科学思维”·强调应用建模·综合考法“精细研” 微专题Ⅱ　三类“动态圆”模型的应用 模型一　“放缩圆”模型的应用 当带电粒子垂直磁场方向射入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动的半径不同时，所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一组动态的内切圆。 [例1]　(2023·湖南长沙模拟)如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是(　 ) A．粒子带负电 B．从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率 C．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子在磁场中运动时间 D．所有粒子所用最短时间为 [解析]　粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左手定则，可知粒子带正电，A错误；根据qvB＝m得v＝，从M点射出粒子的运动半径更小，则速度更小，B错误；由t＝T＝·，粒子周期不变，圆周运动的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，则弦切角越小，运动时间越短，如图所示，当弦与bc圆弧边界相切时，弦切角最小，Ob等于R，由几何关系，此时圆周运动的圆心角为120° ，则最短时间为tmin＝·＝，M、N两点具体位置未知，则无法判断从M点射出粒子在磁场中运动时间和从N点射出粒子在磁场中运动时间的大小关系，C错误，D正确。 [答案]　D [思维建模] 1．模型适用条件：带电粒子进入匀强磁场的速度方向一定，进入磁场后做匀速圆周运动的半径不同。 学科网（北京）股份有限公司 2．轨迹圆特点：轨迹圆相切于入射点，圆心在垂直于初速度方向的同一直线上。 3．常见分析思路：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作出粒子运动轨迹，从而探索出临界条件。　　 [对点训练] 1．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半径为R的半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　 ) A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为 B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为 C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为 D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为 解析：选D　在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，则有qBv＝m，解得r＝，可知，粒子速率越大，半径越大。如图所示在能达到半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子半径最小，速率最小，其轨迹如图中轨迹1所示，由qBvmin＝，解得vmin＝，故A错误；经过b点的粒子半径最大，速率最大，其轨迹如图中轨迹2所示，由qBvmax＝m，解得vmax＝，故B错误；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3所示，圆心恰好位于a点，由qBv＝m，解得v＝ 学科网（北京）股份有限公司 ，其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故D正确，C错误。 模型二　“旋转圆”模型的应用 当带电粒子进入匀强磁场的速度大小相同、速度方向不同时，所有带电粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，各轨迹圆相交于入射点，相当于以入射点为圆心在旋转。 [例2]　如图所示，S为电子射线源，该电子射线源能在图示纸面360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m、带电量为e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS＝L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场。 (1)若电子的发射速率为v0，要使电子一定能经过点O，则磁场的磁感应强度B的条件？ (2)若磁场的磁感应强度为B，要使S发射出的电子能到达挡板，则电子的发射速率v0多大？ (3)若磁场的磁感应强度为B，从S发射出的电子的速率为，则挡板上出现电子的范围多大？ [解析]　电子从点S发出后受到洛伦兹力作用在纸面上做匀速圆周运动，由于电子从同一点向各个方向发射，电子的轨迹构成绕S点旋转的一组动态圆，动态圆的每一个圆都是顺时针旋转，如图甲所示。 (1)要使电子一定能经过点O，即SO为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足R≥，即≥，解得B≤。 (2)要使电子从S发出后能到达挡板，则电子至少能到达挡板上的O点，故有粒子圆周运动半径R≥，即≥，解得v0≥。 (3)当从S发出的电子的速度为时，电子在磁场中的运动轨迹半径R′＝＝2L，如图乙所示，打在挡板上的最低点为动态圆与MN相切时的交点P1，打在挡板上的最高点为动态圆与MN相割的交点P2，且SP2是轨迹圆的直径。电