第5板块 大题专攻(一) 圆锥曲线中的求值及证明问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(一)　圆锥曲线中的求值及证明问题　　　 　求值问题 [例1]　(2023·石家庄模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，抛物线C2：y2＝4x的准线过点F1， 且C2的准线与C1交于M，N，|MN|＝3. (1)求C1的方程； (2)如图，过F2作直线l交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，O为坐标原点，记△OAB，△F1CD的面积分别是S1，S2，且S2＝4S1，求直线l的方程． 解题微“点” 切入点 (1)根据抛物线的准线可得椭圆的焦点，进而根据椭圆的对称性可知在椭圆上，代入即可求解． (2)根据面积关系转化成|CD|＝2|AB|，进而联立直线与曲线的方程，由弦长公式以及焦点弦公式即可表示|AB|，|CD|，代入|CD|＝2|AB|即可求解直线的斜率 易错点 忽视对直线斜率存在与否的讨论而致错 [解]　(1)由题意知抛物线C2：y2＝4x的准线方程是x＝－1，所以F1(－1,0)． 由题意可知点在椭圆上， 所以解得a＝2，b＝. 所以C1的方程是＋＝1. (2)因为O为F1，F2的中点，所以O到直线l的距离为F1到l距离的一半，又S2＝4S1，所以|CD|＝2|AB|. 当直线l的斜率不存在时，易得|AB|＝3，|CD|＝4不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立方程组可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝， 由两点间距离公式可得，|AB|＝·＝4－， 联立方程组可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x3＋x4＝2＋，x3x4＝1， 所以|CD|＝x3＋x4＋2＝4＋. 因为＝＝2，解得k＝±， 所以直线l的方程是x－2y－＝0或x＋2y－＝0. [思维建模] 解决与弦长、面积有关问题的解题策略 (1)求弦长的主要方法是联立直线与圆锥曲线的方程，然后用根与系数的关系及弦长公式求解，抛物线中的焦点弦问题可用定义转化进行求解； (2)求平面图形的面积(或面积的取值范围)，关键是求出面积的表达式，平面图形的面积经常转化为三角形的面积来求解．　　 [对点训练] 1．双曲线最早由门奈赫莫斯发现， 后来阿波罗尼斯进行了总结和完善．在他的著作中，双曲线也被称作“超曲线”. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为2，左、右顶点分别为A1，A2，经过点B(4,0)的直线l与C的右支分别交于M，N两点，其中点M在x轴上方． (1)若l⊥x轴时，|MN|＝2，设直线MA1，NA2的斜率分别为k1，k2，求的值； (2)若∠BA2N＝2∠BA1M，求△A1MN的面积． 解：(1)由题意得解得所以双曲线C的方程为－＝1. 设MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A1(－2,0)，A2(2,0)，联立可得(m2－2)y2＋8my＋12＝0，m2≠2，Δ＝64m2－4(m2－2)×12＝16m2＋96>0，y1＋y2＝－，y1y2＝， 因为k1＝，k2＝， 所以＝·＝＝ ＝＝＝－. (2)设∠BA1M＝θ，所以∠BA2N＝2θ，由＝－3，可得＝3，所以＝3，解得tan θ＝. 所以A1M的方程为x＝y－2，联立可得y2－4y＝0，解得y1＝4， 同理联立解得y2＝－， 所以S△A1MN＝×6×|y1－y2|＝3×＝. 　证明问题 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． [解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4. 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0. 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0. 由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2. 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2,0)，A2(2,0)． 直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝， 所以＝，得＝，＝＝. 因为＝＝＝＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1. 所以点P在定直线x＝－1上． [思维建模] 圆锥曲线中的证明问题 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂