第5板块 大题专攻(五) “解析几何”压轴大题的思维建模（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(五)　“解析几何”压轴大题的思维建模 一 宏观掌握解题通路：解析几何问题重在“设”——设点、设线 解析几何解答题的常见类型：第(1)小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第(2)小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步： 第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出； 第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系； 第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中． 在求解时，要根据题目特征，恰当地设点、设线，选用恰当运算方法，合理地简化运算．　 [解题示范] [典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [应用体验] 　(2023·长沙雅礼中学一模)已知椭圆C：＋y2＝1，直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)点P(x0，y0)为椭圆C上的动点(与点A，B不重合)，若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为－，试探究直线l是否过定点，并说明理由； (2)若OA⊥OB．过点O作OQ⊥AB，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程． 解：(1)直线lAB过定点(0,0)，下面证明： 设A(x1，y1)，B′(－x1，－y1)，kPAkPB′＝×＝， 又＋y＝1，＋y＝1，∴kPAkPB′＝＝＝－， ∴直线lAB′过原点满足kPAkPB′＝－. 又当PA两点固定时kPA为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为－，则直线PB，PB′重合，则B，B′重合，∴直线l过定点(0,0)． (2)设|OA|＝r1，|OB|＝r2，∠xOA＝θ，不妨设∠xOB＝θ＋， ∴A(r1cos θ，r1sin θ)，B(－r2sin θ，r2cos θ)．又点A，B在椭圆上， ∴＋rsin2θ＝1，＋rcos2θ＝1. ∴＋sin2θ＝，＋cos2θ＝.两式相加得＋＝， 由S△OAB＝|AB|·|OQ|＝|OA|·|OB|， 得|OQ|＝＝＝＝＝＝， ∴点Q的轨迹是以点O为圆心，以为半径的圆．∴点Q的轨迹方程为x2＋y2＝. 二 微观优化解题细节：合理设参，把握先机 平面解析几何中的许多问题，若解题方法不对就会使解题过程繁杂而冗长，从而影响到解题的速度和解题的准确性，通过引入参数，设而不求是解决此类问题的有效方法． 一旦合理引入参数，用参数来刻画运动变化状态，减少变量，再利用平面几何知识就会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果．设参方式一般有以下几种类型． 类型(一)　“单参”解题　 [例1]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线交于A，B两点，直线OA，OB斜率之积为－p. (1)求抛物线C的方程； (2)若M为线段AB中点，射线OM交抛物线于D点．求证：>2. [解题观摩] (1)∵直线AB不垂直x轴， ∴直线AB的斜率k存在，且易知k≠0，记m＝， 则可设直线AB的方程为x＝my＋. 由消去x，得y2－2pmy－p2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2. ∴kOAkOB＝＝＝－4＝－p. ∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)证明：令M(x0，y0)，则y0＝＝4m， x0＝my0＋＝4m2＋2. 又kOD＝kOM＝＝， ∴直线OD的方程为y＝x. 由消去x，得y2＝·y. ∵O(0,0)，∴yD＝. ∴＝＝＝2＋>2得证． [反思领悟] 单参问题经常需要在“k参”与“m参”中选择．一般而言，选“k参”还是选“m参”可以依照：“一看已知点的坐标，二看所求问题目标”来决定．如本例中，因为已知AB过点F，而F点在x轴上，其纵坐标为零，所以设直线AB时选“m参”解题更为轻巧．　　 类型(二)　“双参”解题　 [例2]　已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，其中M为A关于y轴的对称点，N(0，)，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)分别记△PAO，△PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共线时，求S1·S2的最大值． [解题观摩] (1)∵＝，a2＝b2＋c2， ∴a＝2b， ∴椭圆C的方程可化为＋＝1. 将点P代入，得a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设l：y＝kx＋m(k≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2