第5板块 大题专攻(三) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word教参）-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

大题专攻(三)　圆锥曲线中的最值、范围问题　　 　最值问题 [例1]　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解题微“点” 切入点 (1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p； (2)设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用·＝0，找到m，n的关系，以及△MFN的面积表达式，结合函数性质即可求其最小值 关键点 解答本题关键是根据向量的数量积为0找到m，n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值 易错点 易漏掉寻求函数定义域而致错 [解]　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得，y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p. 所以|AB|＝|yA－yB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0.因为p＞0，解得p＝2. (2)因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得，y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0. 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0. 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1,4(m2＋n)＝(n－1)2＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0. 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝. |MN|＝　|y1－y2|＝　＝2＝2|n－1|. 所以△MNF的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2. 而n≥3＋2或n≤3－2，所以当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. [思维建模]　圆锥曲线中的最值问题的求解方法 几何法 题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注意用圆锥曲线的定义和平面几何有关结论来求最值 代数法 题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数(通常为二次函数)，再求这个函数的最值．求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等 [对点训练] 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 解：(1)由题设可知解得 则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0. 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l的斜率存在时， 设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1， 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－>0，即km<0， 则x＝＝4＋>4， 即xM>2，故此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 　范围问题 [例2]　如图，已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点(B在x轴上方)，连接BF2并延长，交椭圆C于点M. (1)若AB⊥x轴，求直线BM的方程； (2)求F1B·F1M的取值范围． 解题微“点” 切入点 (1)由AB⊥x轴可得B点坐标，从而得直线BM的斜率； (2)分类讨论直线BM的斜率是否存在．若不存在，直接可得；若存在，设出BM的方程，联立方程利用根与系数的关系将·转化为代数形式 障碍点 忽视对直线BM斜率是否存在的讨论或不会判断关于k的函数的单调性，而导致答案错误 [解]　(1)由已知得F1(－1,0)，F2(1,0)， 当AB⊥x轴时，可以求得点B，直线BM的斜率为－，所以直线BM的方程为y＝－(x－1)，即3x＋4y－3＝0. (2)若直线BM的斜率不存在，则直线BM的方程为x＝1，B，M， 则·＝·＝. 若直线BM的斜率存在，设BM的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，B(x1，y1)，M(x2，y2)， 联立化简得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 得x1＋x2＝，x1x2＝， 由于＝(x2＋1，y2)，＝(x1＋1，y1)， 则·＝x