第1板块 大题专攻(二) “解三角形”大题的思维建模-【创新方案】2024年高考数学二轮复习专题辅导与测试（新教材）

高考专题辅导与测试·数学 大题专攻（二）“解三角形”大题的思维建模 一宏观掌握解题通路：解三角形问题重在“变” 变角、变式 尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公 解三角形解答题 两狐间的和差 统 式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感.突破此难点 倍半变换 的关键在于“变”一变角与变式，从“变角”来看，主要有： 已知角与特殊角的变换，已知角与目标角的变换、角与其倍 变 三角形内角和 定理的变换 角的变换，两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理 统 的变换运用.如：a=(a十)一B=(a-)十B,2a=(a十)十 变 换元 (a,2a=(+a)-(g-a),a+日=2，a里，a里- 2 2 式 三角函数公式 (一号）一（号一）等.从“变式“来看，在解决解三角形的 三角形中正、 统 问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等。 余弦定理 [解题示范] [典例](2022·新课标I卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cOs A sin 2B 1+sin A 1++cos 2B' Q)若C-,求B:(2)求+ 2一的最小值 [关键步骤] [解题样板 [微点提醒] ①变角：利用A十B十 cos A sin 2B 2sin Bcos B sin B C=π把角A+B用角 (1)因为1十snA1+cos2B2c0sB cos B' C来表示，化未知角为 psin B=cos Acos B-sin Asin B 已知角，从而求出角B -cos(A+B)=-cos C=. 周为C=经，所以0<B<晋，所以B=吾 》易忽略C= 豪而 (2)由(1)知sinB=-cosC>0, 出现增解B=晋 所以受<C<0<B<受 ②变式：利用正弦定 理化边为角，从而化 而sinB=-cosC=sin(C-受），所以C=乏+B, 由于不能正确得到受 为同一角，以便进行 运算. 即有A=受-2B, <C<,0<B<受： 所以g+_sinA十sinB 也就不能得到角B和 sin'C 角C的关系，影响后 目变角：利用二倍角 _cos'2B+1-cos B 续的化简和变形. 公式化2B为B,统 cos'B 一角。 (2cos'B-1)+1-cos B cos'B Acos'B-5cos B+2-4cos'B+2 ④变式：构造应用基本 cos'B cos B50 不等式的形式，以便求 ≥2w8-5=4w2-5. 。十b的最小值 当且仅当6B号时取等号，所以口十护的最小值为4v2-5。不要急略整证是否能 :取等号 20 第一板块三角函数、解三角形与平面向量 [关键点拨] [应用体验] 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 找条件寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向 已知边c=6,且sinA十sinB=2sinC (1)求△ABC面积的最大值： 根据已知条件和转化方向，选择使用的定 定工具 理和公式，进行边角之间的转化 (2)设当△ABC的面积取最大值时的内角C为， 已知函数f(x)=sin(ax-e)(a>0)在区间 求结果 根据前两步分析，代入求值得出结果 转化过程中要注意转化的方向，审视结果 (0,受)上恰有三个零点和两个极值点，求，的 再反思 的合理性 取值范围。 2,解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的 范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围 求角的范围时可以利用余弦定理进行转化： (2)注意题目中的隐含条件，如A十B十C=π，0< A<π，b-c<a<b十c,三角形中大边对大角等. (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A,B与一边a,由A十B十C=开及 sin A sin Bsin C,可求出角C,再求b,c: b ②已知两边b,c与其夹角A,由a2=b2+c2一 2 bccos A,求出a,再由余弦定理，求出角B,C: ③已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C. 二微观优化解题细节：解三角形必须具备的三个意识 “解三角形”的总体难度适中，人手比较容易，但在具体解决问题时，学生易出现“会而不对，对而不全”的情 况.主要表现：公式记忆不准确：在三角函数公式变形中转化不当，导致后续求解复杂或运算错误：忽视三角形中 的隐含条件，求边、角时忽略其范围等.基于以上误区，解决此类问题要强化以下三个意识 意识（一）边角互化 [例1]已知a,b,c分别为锐角△ABC内角 再由余弦定理得a=b十c一2 becos A, A,B,C的对边，2 asin A=(2sinB-sinC)b+ 所以c0sA=立 1 (2sin C-sin B)c. (1)求A: 因为A∈(0，x,所以A= (2)若c=2,试向b的值是否可能为5？若可： (2