2024年中考 数学 重难点突破 专题四　圆的综合题

重难点突破 专题四　圆的综合题 类型一　圆的性质综合题 1. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E. (1)求证：△DBE∽△ABC； (2)若AF＝2，求ED的长． 　第1题图 2. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径． (1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD ，求证：CA平分∠BCD； (2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长． 　第2题图 3. 如图，BC是⊙O的弦，点A是优弧上一点，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点F，连接AB，BF，AC，过点D作DE⊥AC于点E. (1)求证：∠DAB＝∠CDE； (2)若AC＝AD，CD＝3，BD＝，求△ABC的面积． 　第3题图 类型二　圆的切线综合题 1. 如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连接AD交CF于点G，连接AC，过点C的切线交BA的延长线于点H. (1)求证：AD∥HC； (2)若＝2，求tan ∠FAG的值； (3)连接BC交AD于点N，若⊙O的半径为5. 下面三个问题，依次按照易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答． ①若OF＝，求BC的长； ②若AH＝，求△ANB的周长； ③若HF·AB＝88，求△BHC的面积． 　第1题图 2.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，OD⊥BC交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)连接AD，CD，若AB＝4，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，点F为劣弧上一点，∠DAF＝15°，求点F到AD的距离． 　第2题图 3. 如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径； (3)若F是AB的中点，求证：CE＋BD＝AF. 　第3题图 4. (2018广东24题)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E. (1)证明：OD∥BC； (2)若tan ∠ABC＝2，证明：DA与⊙O相切； (3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC＝1，求EF的长． 　第4题图 类型三　隐圆问题 1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF. (1)求证：CF⊥FB； (2)求证：以AD为直径的圆与BC相切； (3)若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积． 　第1题图 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，DF平分∠ADE交AB于点G，连接EF，且∠ADF＝∠AEF. (1)求证：△EDF∽△GEF； (2)求证：BD是以AE为直径的圆的切线； (3)若tan ∠AED＝2，EF＝2，求线段DF的长． 　第2题图 ( 第 1 页 共 22 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 专题四　圆的综合题 类型一　圆的性质综合题 1. (1)证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∵所对的圆周角为∠BDC和∠BAC， ∴∠BDE＝∠BAC， ∴△DBE∽△ABC； (2)解：如解图，过点C作CG⊥AB，垂足为G. ∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2， ∴AB＝5，cos A＝＝. ∵CG⊥AB， ∴AG＝AC·cos A＝1， ∵AF＝2， ∴FG＝AG＝1， ∴AC＝FC， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF. ∴BD＝BF＝AB－AF＝3. ∵△DBE∽△ABC， ∴＝即＝， ∴ED＝. 第1题解图 2. (1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD， ∴AO垂直平分BD， ∴AB＝AD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴CA平分∠BCD； (2)解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴CD⊥BC， ∵AE⊥BC， ∴AE∥CD， 同理AD∥CE， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∴CD＝AE， ∵AE＝3， ∴CD＝3， ∴BC＝＝＝3 . 3. (1)证明：∵AF是⊙O的直径， ∴∠ABF＝90°. ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝∠ABF＝90°. ∵∠AFB和∠ACB均为所对的圆周角