10.3复数的三角形式及其运算练习-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

10.3复数的三角形式及其运算 练习 一、单选题 1．若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，且，则=（    ） A． B． C． D． 3．欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 4．已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 5．已知复数满足，则 A． B． C． D． 6．设函数，那么是（    ） A． B． C． D． 7．复数是方程的一个根，那么的值等于 A． B． C． D． 8．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（     ） A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 二、多选题 9．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．复数的模等于 D．的共轭复数为 10．是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13． . 14．已知复数的模为2，辐角为，则 ． 15．×= 16．复数的三角形式的辐角主值为 . 四、解答题 17．化简下列各式. （1）； （2）. 18．已知，且，试用多种解法求解． 19．回答下面两题 (1)求证：； (2)写出下列复数z的倒数的模与辐角： ①；②；③． 20．在的外部，分别以，为斜边作等腰直角三角形，，若F为的中点，求证：，. 参考答案： 1．D 【详解】试题分析：由题意可设，∴，∴. 考点：复数的计算. 2．B 【分析】由题设令，利用复数除法化简，再由复数相等求. 【详解】令，则， 所以， 则，故. 故选：B 3．A 【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断② 【详解】① ② 则①②均正确 故选：A 4．A 【分析】关于的实系数方程两个虚根为，，所以，可得， 利用根与系数的关系可得，设，则，根据，可得可求得答案. 【详解】关于的实系数方程两个虚根为，， ，所以 设 所以 ，即，即 由，即，解得或. 又，，则，所以 所以 故选：A 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 5．A 【详解】设，则由已知有，所以，解得 ，所以，故，选A. 6．C 【分析】利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出. 【详解】，． 故选：C． 7．B 【解析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】由题意得, 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的三角形式的运算,属于基础题. 8．C 【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，所以为纯虚数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，，所以点位于第二象限， 即复数对应的点位于第二象限，故D错误； 故选：C 9．BC 【分析】根据欧拉公式写出、、，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数. 【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误； ，则为纯虚数，故B正确； ，则的模为，故C正确； ，其共轭复数为，故D错误． 故选：BC 10．BCD 【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案. 【详解】解： ， 由，， 则，， 所以， 又因为恒成立， 所以，所以， 根据， 则， 因为，则，所以， 所以表示的复数位于复平面中的第一象限. 故选：BCD. 11．AC 【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误. 【详解】由， A：，正确； B：，错误； C