6.3.5 平面向量数量积的坐标表示5题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示5题型分类 一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1-1．（2023·江苏·高一专题练习）已知为互相垂直的单位向量，且，，那么 ． 1-2．（2023下·甘肃张掖·高一甘肃省民乐县第一中学校考阶段练习）已知，则等于（　　） A．10 B．－10 C．3 D．－3 1-3．（2023下·江苏南通·高一统考期末）如图，已知菱形的边长为，，，则 ． 1-4．（2023高一练习）已知，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 1-5．（2023·高一课时练习）已知，，，为坐标原点，是直线上一点，求取得最小值时点的坐标． 1-6．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 . 1-7．（2023下·四川资阳·高一统考期末）如图，在等腰直角中，斜边为，M，B为BC上的动点，且，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 1-8．（2023下·北京·高一中关村中学校考阶段练习）在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 . （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型2：平面向量的模 2-1．（2023·青海西宁·湟川中学校考一模）已知，，则 ． 2-2．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，向量，则的最大值为 ． 2-3．（2023·河南新乡·高三阶段练习）已知向量，,,则 A． B． C．5 D．25 2-4．（2023下·江苏扬州·高三统考开学考试）已知向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型3：平面向量的夹角问题 3-1．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知平面向量，则与的夹角为 . 3-2．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023下·山东·高一阶段练习）平面内向量（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点． (1)若，求的坐标． (2)已知BC中点为D，当取最小值时，若AD与CP相交于点M，求与的夹角的余弦值． 3-4．（2023下·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形的边长满足，点满足，则的值为 . 3-5．（2023上·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知向量，若的夹角是锐角，则实数的取值范围为 . 3-6．（2023下·四川成都·高一统考期中）已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B．C．D． （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型4：平面向量的垂直问题 4-1．（2023下·北京·高一统考期末）已知，，那么与垂直的向量是（    ） A． B． C． D． 4-2．（2023上·云南·高二校