专题01 二次根式及其性质 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题01 二次根式 重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 求二次根式的值 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 数轴与二次根式的化简问题 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型八 复合二次根式的化简 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（2022下·浙江绍兴·八年级统考期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【变式训练】 1．（2020·浙江杭州·九年级期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 2．（2021下·湖北荆门·八年级校考阶段练习）已知，则 ． 3．（2021下·湖北黄冈·八年级统考期中）若实数x，y满足，求的值． 【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】 【例2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 【变式训练】 1．（2024上·湖南岳阳·八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2024上·上海浦东新·八年级校考期末）如果等式成立，需要添加条件 ． 3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）（9分）当时，求的值．如图    (1)______的解法是错误的． (2)当时，求的值． 【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知，其中为整数，则的值为__________． 【变式训练】 1．（2024上·湖南益阳·八年级统考期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2023上·上海静安·八年级校联考期末）如果，那么等式成立的条件是 . 3．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，∴______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】 【例4】（2023春·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为_______． 【变式训练】 1．（2023下·河南安阳·八年级校考期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 2．（2022下·江西宜春·八年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 3．（2021·全国·八年级假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例5】（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知一个三角形的三边长分别4，m，9，则 ． 2．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）先阅读下面的解答过程，然后再解答： 要对形如的式子化简，只要找到两个数、，使，，即，，那么便有． （1）用上述方法化简：=