专题02 二次根式的乘除 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 二次根式的乘除 重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）估计的值应在（    ） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【变式训练】 1．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）若，，则可以表示为（） A． B． C． D． 2．（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）若a，b为有理数且满足，则 ． 3．（2023上·宁夏中卫·八年级校考期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【变式训练】 1．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·山东青岛·九年级校考阶段练习）计算： ． 3．（2023上·福建宁德·八年级统考期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023下·浙江宁波·八年级统考阶段练习）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023下·浙江宁波·八年级统考阶段练习）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2020上·四川达州·八年级校考阶段练习）化简－÷＝ ． 当1＜x＜4时，|x－4|-＝ ． 3．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）计算： 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023下·安徽芜湖·九年级校考自主招生）计算： ． 2．（2022下·安徽芜湖·八年级校考期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 3．（2023下·福建莆田·八年级校联考期中）例题：化简 解：∵，且， ∴ (1)化简 (2)化简 (3)化简 (4)若，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【变式训练】 1．（2023下·江苏·八年级专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则 ． 2．（2020上·八年级课时练习）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 3．（2017上·四川成都·九年级阶段练习）如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且＋＝0，求x、y的值． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ． 以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： = = = =﹣1． 请任用其中一种方法化简： ①；②； 【变式训练】 1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知，则化简的结果为 ． 2．（2024上·湖南益阳·八年级统考期末）材料阅读 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化