6.2.4 向量的数量积（8大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 向量的数量积 1、了解向量数量积的物理背景，即物体在力的作用下产生位移所做的功； 2、掌握向量数量积的定义及投影向量，会计算平面向量的数量积； 3、掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式； 4、会利用向量数量积的有关运算进行进行或证明。 一、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 3、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 二、平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 三、求平面向量数量积的方法 （1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件； （2）运算律转化法：由可得如下运算公式：；；； （3）利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。 题型一 平面向量数量积的概念 【例1】（2023·高一单元测试）以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ） A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的 C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直 【变式1-1】（2023·四川乐山·高一期末）（多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，，则 D．，则 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）下列结论中正确的有 ． ①“与共线”是“存在实数使”的必要非充分条件 ②；③或；④； ⑤，其中；⑥若，则为钝角； 【变式1-3】（2023·四川成都·高二成都七中校考期中）（多选）下列说法正确的是（ ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 题型二 平面向量数量积的运算 【例2】（2024·山东济南·高二期末）在三角形中，，，，则（ ） A．10 B．12 C． D． 【变式2-1】（2024·全国·高一课时练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A． B． C． D．12 【变式2-2】（2023·山西运城·高一统考期中）设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则 ． 【变式2-3】（2023·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则 ． 题型三 平面向量模的相关运算 【例3】（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ） A． B．4 C．2 D．0 【变式3-2】（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知向量的夹角为，，则 . 【变式3-3】（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知向量、满足，，则 . 题型四 平面向量的夹角问题 【例4】（2023·河南焦作