第22章 二次函数—— 求二次函数解析式的九种方法 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册提分法

第8招 求二次函数解析式的九种方法 九年级数学（上）极速提分法 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的解析式． 例 解题方法：用待定系数法，结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴可设这个二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－3. 又∵函数图象过点P(2，0)， ∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3. ∴这个二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x. 方法1 利用一般式求二次函数解析式 1. (1)求抛物线的解析式； (2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积． 2.已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4. 方法2 利用顶点式求二次函数解析式 (1)求抛物线C的解析式； 解：∵抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n的对称轴与直线l： y2＝kx＋b交于点A(－1，5)， 点A与抛物线C的顶点B的距离是4， ∴B(－1，1)或(－1，9)， ∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9， 即抛物线C的解析式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8. (2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的解析式． 【点方法】 根据题目条件，易得抛物线C的顶点B的坐标，然后利用顶点式求其解析式． 3.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点． 方法3 利用交点式求二次函数解析式 (1)求此抛物线的解析式； 解：由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0) 和点B(3，0)， 可知抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)， 即y＝－x2＋2x＋3. (2)直接写出点C和点D的坐标； 解：C(0，3)，D(1，4)． (3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点的坐标． 【点方法】 当遇到抛物线与x轴交于某两个点求抛物线解析式的问题时，设交点式可简便运算． 方法4 利用平移法求二次函数解析式 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)． (1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围； 解：把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3， 得0＝a＋4－3，解得a＝－1， ∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2. 易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)． 当y＞0时，1＜x＜3. (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式． 解：易知点D的坐标为(0，－3)， ∴要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后图象所对应的二次函数的解析式为 y＝－(x－4)2＋5. 5.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A. 方法 5 利用对称轴求二次函数解析式 (1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积． 解：如图，过P点作PF⊥x轴于点F， 过B点作BE⊥x轴于点E，由点P在抛物线上， 可设P点的坐标为(t，t2－4t)， 易知PF＝t2－4t，F(t，0)，E(1，0)， A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t， ∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°. 6. 【2023·南充】如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 方法6 利用图象中的信息求二次函数解析式 2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m，那么喷头高________m时，水柱落点距O点4 m. 8 【点拨】 以O为原点，水平线为x轴，建立直角坐标系．由题意知，调整喷头高度，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5 m时，设y＝ax2＋bx＋2.5，将点(2.5，0)的坐标代入得2.5a＋b＋1＝0，当喷头高4 m时，可设y＝ax2＋bx＋4，将点(3，0)的坐标代入得9a＋3b＋4＝0，联立方程组求出a，b的值，设喷头高h m时，水柱