极速提分法－第3招 根的判别式的八种常见应用 课件 2023－2024学年人教版数学九年级上册

第3招 根的判别式的八种常见应用 九年级数学（上）极速提分法 【中考·岳阳】已知关于x的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不等的实数根； 例 解题方法：一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况： 1．不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判断根的情况． 2．根据方程根的情况，结合根的判别式来确定方程中待定字母的值或取值范围，若二次项系数中含有 字母，则应注意检验二次项系数是否为零． 3．应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不等的实根、有两个相等的实根)． 证明：∵关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 是一元二次方程， ∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0. ∴方程总有两个不等的实数根． (2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)． 解：∵x＝0是此方程的一个根， ∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0. ∴m＝0或m＝－1. 　(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 ＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5 ＝3m2＋3m＋5， 把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5； 把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5. 综上，原代数式的值为5. 应用1 利用根的判别式判断不含字母系数的方程的 根的情况 1.判断下列方程的根的情况． 解：Δ＝0，方程有两个相等的实数根； Δ＝20＞0，方程有两个不相等的实数根； (3)x2＋x＋2＝0. 解：Δ＝－7＜0，方程无实数根． 【点拨】 直接利用根的判别式判断方程根的情况即可． 2.已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况． 应用2 利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 解：∵x2－2x－m＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. ∴对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，　 ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根． 【点拨】 由x2－2x－m＝0无实数根得出m＜－1，从而得到方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的判别式的值－4m＞4，故该方程有两个不相等的实数根． 3. 【2023·宜宾】若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a≠0　　　　　　B．a＞－1且a≠0 C．a≥－1且a≠0　 D．a＞－1 B 应用3 利用根的判别式求方程的字母系数的值或取值范围 【点拨】 由方程有两个不相等的实数根得4＋4a＞0，解得a＞－1，又因为二次项系数不为0，所以a＞－1且a≠0. 故选B. 应用4 利用根的判别式求代数式的值 4. 【点方法】 本题利用根的判别式求得m的值，再将m的值代入代数式求值即可． 5.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 应用5 利用根的判别式确定三角形的形状 解：△ABC是等腰三角形．理由： ∵x＝－1是方程的根， ∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0. ∴a＋c－2b＋a－c＝0.∴a－b＝0.∴a＝b. ∴△ABC是等腰三角形． (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 解：△ABC是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0， ∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形． (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c. 当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0. ∴x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1. 【点方法】 本题将方程根的判别式与三角形结合在一起进行考查，解题时根据给出的条件灵活运用即可． 6. 应用6 利用根的判别式探求菱形的条件 (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长． 【点方法】 本题将方程与平行四边形、菱形相结合考查，灵活利用给出的条件进行求解即可． 7. D 应用7 利用根的判别式解二次函数图象与x轴的交点问题 【点拨】 8. 应用8 利用根的判别式探求菱形的条件 【点拨】 由题意知Δ≥0，列出不等式求解即可； 解：由(1)可知y＝x