6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时） 学习目标 1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义． (重点、难点) 2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号． (易错点) 情境导入 在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示. 【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢? 【提示】不变. 【思考2】对于一个任意角，如何求得该角的正弦、余弦、正切值？ 【提示】我们需要将三角函数的定义推广到任意角 我们将锐角 α 置于平面直角坐标系中 ， 使角 α 的顶点与坐标原点 o重合 ， 始边与 x轴的正半轴重合 ， 那么它的终边必在第一象限 ． 如图 ６-１-６ ， 在角 α 的终边上任取异于原点的一点P （ x ， y ）， 它与原点的距离 过点 P 作 x轴的垂线 ， 设垂足为 M， 则线段 OM 的长度 ｜ OM ｜ 为 x ， 而线段 MP 的长度 ｜ MP ｜ 为 y ． 根据锐角的正弦 、 余弦 、 正切及余切的定义 ， 有 这说明锐角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切可以用角 α 的终边上点的坐标来义 ． 这样 ， 就可以对任意给定的角 α ， 定义其相应的正弦 、 余弦 、 正切及余切 ． 如图 ６-１-７ ， 在任意角 α 的终边上任取异于原点的一点 P ，设其坐标为 （ x ， y）， 并令 ｜ OP ｜＝ r ， 必有 ． 这样 ， 就可以分别定义 角 α 的正弦 、 余弦 、 正切 、 余切 为 应当注意的是 ： 即角 α 的终边位于 y轴上时 ， ｔａｎ α ＝ 无意义 ； 而当 α ＝ 即角 α 的终边位于 x轴上时 ， ｃｏｔ α ＝ 无意义 ． 例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的正弦 、余弦 、 正切及余切值 例8. 已知角 α 的终边经过点 P （ －２ ， ０ ）， 求角 α 的正弦 、余弦 、 正切及余切值 ． 由于角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值可以由其终边上一点 P的坐标求出 ， 因此不难根据点 P 的坐标来判断角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切的符号 ， 如表 ６-３ 所示 ． 上表的结果可用图 ６-１-８ 直观表示 ． 例9.若角 α 满足 ｓｉｎ α ＞０ ， 且 ｔａｎ α ＜０ ， 则角 α 属于第几象限？ 解 　 由 ｓｉｎ α ＞０ ， 知角 α 属于第一象限或第二象限或其终边位于 y 轴的正半轴上 ． 又由 ｔａｎ α ＜０ ， 知 α 属于第二象限或第四象限 ． 因此 ， 角 α 属于第二象限 ． 课本练习 １． 已知角 α 的终边过点P （ ２ a， －３ a ）（ a ＜０ ）， 求角 α 的正弦 、 余弦 、 正切及余切值 ． ２． 已知角 α 的终边过点 P（ ０ ， －３ ）， 则下列值不存在的是 （ 　　 ） Ａ．ｓｉｎ α ； Ｂ．ｃｏｓ α ； Ｃ．ｔａｎ α ； Ｄ．ｃｏｔ α ． ３． 根据下列条件 ， 分别判断角 θ 属于第几象限 ： 　　 （ ２ ） ｓｉｎ θ ＜０ 且 ｔａｎ θ ＞０． 【例1】已知角的终边上有一点，且，求的值. 题型一：三角函数的定义与应用 解：∵∴ 又，∴∴又 ∴是第一或第二象限角. 当是第一象限角时，则. 当是第二象限角时，则. 题型分类讲解 【变式】已知角的终边落在直线上，求的值. 解：直线，即经过第二、四象限. 在第二象限取直线上的点,则 ∴，， 在第四象限取直线上的点 ∴. 题型二：三角函数值符号的运用 【变式】.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C. 由点位于第二象限， 可得，可得. 所以角所在的象限是第三象限. 【变式】(1)若三角形的两内角满足,则此三角形必为( ). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 答案：B.三角形的两内角的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上， 所