专题6.1 实数中的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题6.1 实数中的综合 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。 · 知识点总结 一、平方根的概念及表示 1.定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根. 2.表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中叫做被开方数. 二、平方根的性质 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 四、算术平方根的概念 正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根． 五、算术平方根的性质 1.正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0； 2.负数没有算术平方根.当时，； 3.算术平方根具有双重非负性：；. 六、立方根的概念及性质 1.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 八、无理数的概念 无理数：无限不循环小数叫无理数． 无理数常见的三种类型： （1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数． 九、实数的分类 · 典例分析 【典例1】新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； （2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． （3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【思路点拨】 （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． · 学霸必刷 1．（2022下·安徽亳州·七年级校考阶段练习）若与是同一个数的平方根，则的值是（    ）． A． B．或1 C．1 D． 2．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 3．（2023下·重庆彭水·七年级校联考期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022上·浙江温州·七年级校联考期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 5．（2023下·重庆潼南·七年级校联考期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 6．（2021上·浙江杭州·七年级校考期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 7．（2022上·湖南岳阳·八年级统考期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 8．（2023上·河南周口·八年级校考期中）计算． （1） （2） 9．（2022下·山东济宁·七年级统考期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 10．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③_