专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“8”字模型 图1 图2 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度． 例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．    例3．（2022·甘肃白银·八年级统考期末）如图1，已知线段、相交于点O，连接、. （1）求证：；（2）如图2，与的平分线、相交于点P，求证：. 例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． 例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 模型2、“A”字模型 结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(   ) A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数 例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 例5．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 例6．（2023春·浙江七年级课时练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果． 几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C． 运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？ 分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝　　； （2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数． 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 例1．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）一副三角尺按如图所示叠放在一起，则图中的度数为 ． 例4．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．    例5．（2023·甘肃庆阳·七年级校考期末）一副直角三角板按照如图所示放置，注