专题06 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题06 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 图3 条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 飞镖模型结论的常用证明方法： 例1．（2023·山西晋城·七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，． “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系．    小红：以用三角形内角和定理去解决． 小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________） ∴（等式性质） ∵________， ∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．    例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例4.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 图3 图4 3）角内翻模型: 如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 ．    例3．（2023·山西临汾·七年级统考期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 例4．（2023·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜