2023-2024学年 苏科版九年级全册数学常考题型专练（2）

苏科版 数学 9年级全册 第2部分 (七)二次函数的应用 (八)圆与相似的综合 (九)解直角三角形的类型 (十)跨学科专题 (十一)数学文化 (七)二次函数的应用 类型一　二次函数应用中的面积最值问题 1.【一题多变】用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地,矩形面积S(m2)随矩形一边长l(m)的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?S最大是多少? [变式1]如图,用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? [变式2]如图,用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 类型二　二次函数应用中的利润最值问题 2.某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则当该商品售价x是多少元/件时,该商店每月获利最大?最大利润是多少元? (3)若4月份该商品的总利润为1 218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少? 3.(2022江苏扬州宝应一模)在“乡村振兴”行动中,某村办企业开发了一种有机产品,该产品的成本为每盒30元.市场调查发现,该产品每盒的售价是60元(每盒售价最低为60元)时,每天可以销售500盒,每涨价1元,每天少销售10盒. (1)设每盒产品的售价是x元(x是整数),每天的利润是w元,求w关于x的函数解析式; (2)当每盒售价定为多少元时,可使当天获得最大销售利润?最大销售利润是多少? (3)现在该企业打算回报社会,每销售1盒赠a元(a>5)给村级经济合作社,物价部门要求该产品销售定价每盒不得超过75元,该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大,求a的取值范围. 类型三　二次函数应用中的抛物线形问题 4.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时,必须在离水池中心多少米以内? (八)圆与相似的综合 类型一　相似与切线的综合 1.(2022山东枣庄中考)如图,在半径为10 cm的☉O中,AB是☉O的直径,CD是过☉O上点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,点E是BC的中点,OE=6 cm. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)求AD的长. 类型二　K型相似与圆的综合 2.(2020湖南怀化中考)如图,在☉O中,AB为直径,点C为圆上一点,延长AB到点D,使CD=CA,且∠D=30°. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)分别过A、B两点作直线CD的垂线,垂足分别为E、F,过C点作AB的垂线,垂足为G.求证:CG2=AE·BF. 类型三　相交型相似与圆的综合 3.(2022山东聊城中考)如图,点O是△ABC的边AC上一点,以点O为圆心,OA为半径作☉O,与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,连接AF,∠AOD=∠EOD.　 (1)求证:AF是☉O的切线; (2)若FC=10,AC=6,求FD的长. 类型四　黄金分割与圆的综合 4.如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠ACF=∠B,CF交BA的延长线于点F. (1)求证:CF为☉O的切线; (2)若FC=AB,求证:点A是BF的黄金分割点; (3)若AF=1,CF=2,AC=,求☉O的直径. (九)解直角三角形的类型 类型一　已知两边解直角三角形 1.(2022青海西宁中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则cos A=　　　　.  2.(2022江苏常州金坛月考)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=2,AC=2,解这个直角三角形. 类型二　已知一边和一锐角三角函数值解直角三角形 3.(2022江苏盐城建湖期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=10,则BC的长为 (　　) A.3　　B.4　　C.6　　D.8 4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,cos A=,若AB=10,求BC的长. 类型三　已知一边和一锐角解直角三角形 5.(2022江苏扬州