专题7.1 条件概率与全概率公式【五大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.1 条件概率与全概率公式【五大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 条件概率的计算】 1 【题型2  条件概率性质的应用】 2 【题型3 利用全概率公式求概率】 3 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 4 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 5 【知识点1 条件概率】 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 【题型1 条件概率的计算】 【例1】（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023下·广东肇庆·高二校考期中）已知，，，求（   ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“四名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则的值为（） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023上·全国·高三专题练习）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（　　） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 C． D． 【题型2  条件概率性质的应用】 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【变式2-1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·高二课时练习）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【知识点2 全概率公式】 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 【题型3 利用全概率公式求概率】 【例3】（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023上·河南·高三统考阶段练习）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天