2024年中考数学压轴题训练——二次函数与圆综合

2024年中考数学压轴题训练——二次函数与圆综合 1．如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为点，定点的坐标为，连接．（）    (1)求用表示的、、三点坐标； (2)当为何值时，点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； (3)当变化时，用表示的面积． 2．如图，抛物线的顶点为，与轴交于两点，且．      (1)求抛物线的解析式； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向轴负方向匀速运动，连接交射线于点，当点到达点时，点停止运动，以点为圆心，为半径的圆与射线交于点，若在点运动的过程中，线段的长始终是一个定值，求的值及长． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点，点E是直线的图像与二次函数图像在第一象限内的交点．    (1)求二次函数的解析式； (2)如图①，若点M是二次函数图像上的点，且在直线的上方，连接，求四边形面积的最大值； (3)如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标． 4．已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以为直径作圆，记作． (1)求抛物线解析式及点D的坐标； (2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 5．已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于两点（点C在点B的右边）．    (1)求抛物线的解析式； (2)猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明； (3)若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 7．如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 8．如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．    (1)求b，c的值． (2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由． (3)如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图（1），点，点P，Q在抛物线上（P在y轴左侧，Q在y轴右侧），且四边形为平行四边形，求四边形的面积； (3)如图（2），将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，直线交抛物线于两个不同点M，N（M在N的右边），直线与抛物线有唯一公共点，和交于点H，以为直径作圆，当点H在圆上时，求m，n满足的条件．并直接写出以为直径作圆，当点H在圆内时n满足的条件． 10．如图，抛物线的图象经过点，，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若以点A为圆心，R为半径的圆与BC相切于点D，求切点D的坐标，以及R的值； (3)若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由 11．在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D． (1)求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式； (2)求点D的坐标： (3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． 12．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 13．我们把方程称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．