2024年人教版九年级数学中考高频考点突破：特殊四边形（二次函数综合）

2024年人教版九年级数学中考高频考点突破 特殊四边形（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半圆⊙O‘与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半圆⊙O’的切线，AD⊥CD于点D （1）求证：∠CAD =∠CAB （2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD=． ① 求抛物线的解析式 ② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 2．矩形对角线的四等分点叫做矩形的奇特点．如图，在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两个动点（在的左侧），且轴，以为边画矩形，原点在边上． （1）如图1，当矩形为正方形时，求该矩形在第一象限内的奇特点的坐标． （2）如图2，在点，的运动过程中，连结交抛物线于点． ①求证：点为矩形的奇特点； ②连结，若，抛物线上的点为矩形的另一奇特点，求经过，，三点的圆的半径． 3．如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1． （1）求抛物线的解析式； （2）连结CD，求证：AD⊥CD； （3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值； （4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，已知抛物线顶点A在x轴上，直线l：y=x-交抛物线于A，B两点，且AB=2 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与y轴交于C点，点P在抛物线上，且在第一象限，∠APC=45°，求P点坐标； (3)如图2，过点M（1，-1）作直线交抛物线与E、F，点N在抛物线上且NE∥x轴，连FN，试证明：直线FN过定点，并求定点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为，，，点E是AB上一点，，过D，O，C三点，抛物线过点D，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：ED是的切线； (3)若点M为此拋物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C． （1）求抛物线的解析式； （2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系　 　（＞、＜、＝），并证明你的判断； （3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值； 7．已知抛物线与抛物线如图所示，将抛物线沿轴翻折，然后将翻折后的图像先向右平移个单位再向下平移个单位得到抛物线． 求二次函数的表达式； 抛物线可以由抛物线绕点（ ， ）旋转得到； 点在抛物线上，平行于轴的直线与抛物线交于点点在点的右边)，点关于轴的对称点为，顺次连接 ①求证：四边形是平行四边形； ②若直线与抛物线，均只有一个交点平分的面积，则点的坐标为（ ， ）    8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．    (1)如图1，当时，求证：为直角三角形； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若． 直接写出n的值． 9．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点． （1）求二次函数的解析式； （2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形． 10．已知关于的二次函数(＞0)的图象经过点C(0，1)，且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0)． （1）求c的值和，之间的关系式； （2）求的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线交于C、D两点，设 A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜l时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数． 1