2024年数学中考专题特训：相似三角形问题（二次函数综合）

2024年数学中考专题特训 相似三角形问题（二次函数综合） 1．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE； （3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由． 2．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，AB=8，BE=BC=10，动点P在线段BE上（与点B、E不重合），点Q在BC的延长线上，PE=CQ，PQ交EC于点F，PG∥BQ交EC于点G，设PE=x. （1）求证：△PFG≌△QFC （2）连结DG.当x为何值时，四边形PGDE是菱形，请说明理由； （3）作PH⊥EC于点H.探究： ①点P在运动过程中，线段HF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求HF的长度； ②当x为何值时，△PHF与△BAE相似 3．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标； (3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式 (2)判断的形状，并证明 (3)点P在抛物向上，且，求点P的坐标． 5．已知：如图，抛物线与轴，轴分别相交于点，两点，其顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）若该抛物线与轴的另一个交点为．求四边形的面积； （3）与是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由． 6．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．      （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，试证明为直角三角形； （3）若点在抛物线上，轴于点，以、、为顶点的三角形与相似，试求出所有满足条件的点的坐标． 7．如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求证: △ABC是等腰三角形. （3）动点P在线段AC上，从点A出发以每钞1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似. 8．如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点． (1)若 ①求此二次函数图象的顶点M的坐标； ②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”． (2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式． 9．如图，点C(0，)（a＜0）是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接OA、OB，设点A的横坐标为m（m＜0）． (1)若点A的坐标为(﹣4，﹣2)，求点C的坐标； (2)若AC：BC＝1：2，m＝﹣1，求a的值，并证明：∠AOB＝90°； (3)若AC：BC＝1：k（k＞1），问“∠AOB＝90°”这一结论还成立吗？试说明理由． 10．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接、，． （1）求抛物线的顶点的坐标． （2）求证：． （3）点在抛物线上，点在直线上，是否存在点、使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          12．如图，抛物线（其中是常数，且）与x轴分别交于点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3) ． (1)用含的代数式表示； (2)若AB=4，求此二次函数的解析式； (3)若点D在该抛物线上，CDAB，连接AD．过点A作射线AE交抛物线于点E，AB平分∠DAE，求证：为定值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶