6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示4题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示4题型分类 一、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 二、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型1：平面向量的坐标表示概念辨析 1-1．（2023·高一课时练习）平面直角坐标系中，的坐标（    ） A．与点的坐标相同 B．与点的坐标不相同 C．当与原点重合时，与点的坐标相同 D．当与原点重合时，与点的坐标相同 1-2．（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 1-3．（2023下·高一课时练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 1-4．（2023下·高一课时练习）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 1-5．（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 1-6．（2023·高一课时练习）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标． （二） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型2：求向量的坐标 2-1．（2023上·广东·高二统考学业考试）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023·全国·高一随堂练习）已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 2-3．（山西省太原市第五十六中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）如图，向量，，的坐标分别是 ， ， ． 2-4．（2023·高一课时练习）设点，将向量按向量平移后得到的向量＝ . 2-5．（2023·高一课时练习）已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2-6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）已知在中，，，，为中点，则的坐标为 ． 2-7．（2023下·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为 . 2-8．（2023上·河南·高三河南省上