2024年中考数学压轴题训练——二次函数与相似三角形

2024年中考数学压轴题训练——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的横坐标． 2．如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 3．如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标； (3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点．          (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一点，若，试求点P的坐标； (3)如图2，抛物线对称轴交x轴于点D，N点为x轴上方抛物线上一动点，直线交抛物线对称轴于点E，直线交抛物线对称轴于点F，在点N的运动过程中，试求的值． 5．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线的顶点是，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线第一象限内一点，连接，交于点E，若．当S最大时，当直接写出点P的坐标和S的最大值． 7．已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于两点（点C在点B的右边）．    (1)求抛物线的解析式； (2)猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明； (3)若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．    (1)求点B的坐标和抛物线的解析式． (2)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． ②点M在x轴上自由运动，若M，P，N三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 9．如图，已知二次函数的图像交轴分别于，两点，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的对称轴； (2)判断的形状并证明，及求； (3)在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．点在二次函数的图像上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点的坐标： (2)在x轴上有一点F，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点坐标； (3)点是二次函数图像上一点，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为，若，求点的坐标． 11．如图①，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线，是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)过点向轴作垂线（如图②），垂足为点，是否存在点，使与相似？若存在，请求出点横坐标的值；若不存在，请说明理由． 12．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标； (3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求的