2024年中考数学压轴题训练——二次函数与最值

2024年中考数学压轴题训练——二次函数与最值 1．如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； (3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m  ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 2．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，若的两根分别是，． (1)求b，c的值． (2)已知二次函数的图象上有不与点B重合的一点P，若点P关于x轴对称的点恰好在直线上． ①求点P的坐标． ②平移二次函数的图象，使其顶点始终在第一、三象限角平分线上运动，且与相交于点Q，求面积的最小值． 4．抛物线与轴交于和两点，与轴交于点.    (1)求此抛物线解析式； (2)如图1，为线段上一点，作交抛物线于，的长度最大时，求点的坐标； (3)如图2，为射线上一点，在抛物线上，、均位于轴上方，且使，当为等腰三角形时，求点坐标. 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求线段的长度； (2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 6．已知：如图，二次函数与x轴交于点和点．    (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点P是抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的纵坐标为，已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而减小． ①求m的取值范围． ②当时，在线段的右边作正方形，直接写出正方形与二次函数的图象交点的个数及对应的m的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数，交于点，两点．    (1)求一次函数和二次函数的解析式． (2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线上方，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，求当面积最大时，点P的坐标． (3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 8．已知点在直线上，点是抛物线上一个动点． (1)如图，若抛物线与直线l交于点A． ①求a和k的值； ②过点M作y轴的平行线交直线l于点N，当点M在直线l上方的抛物线上运动时，求线段MN长度的最大值及此时点M的坐标； (2)点是抛物线与直线在第一象限内的交点，若接写出的取值范围． 9．如图，抛物线的顶点为，与x轴交于A、B两点，且，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点作轴交直线于点，求的最大值． (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图 1，抛物线 交 x 轴于点 和点B，交 y 轴于点 ． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点M在抛物线上，且，求点M的坐标． (3)如图 2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点C是抛物线的顶点．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交BC于点E，，垂足为F． (1)求点C的坐标； (2)当取得最大