2024年中考数学专题训练——二次函数与等腰三角形

2024年中考数学专题训练——二次函数与等腰三角形 1．如图，点，，均在抛物线上，点在轴上，且，绕点顺时针旋转后两边与轴、轴分别相交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由； (3)若是等腰三角形，求点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，过点A、C作直线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点F，过点P作交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点M；连接，把线段沿直线平移，记平移后的线段为，当以、、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．已知二次函数的图像与x轴分别交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，若将它的图像向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为． (1)原抛物线的函数解析式是　 　． (2)如图①，点P是线段下方的抛物线上的点，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，点Q是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点M，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积； (3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点C，连接．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段，相交于点D，过点D作，交于点E，射线交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）． (1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标； (2)当时，的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； (3)当t为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程． 6．综合与探究 如图二次函数与直线交于A、C两点，已知：，二次函数的图象与x轴的另一个交点为点B，点D在直线上方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交于点E． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)求线段的最大值，及此时点D的坐标． (3)在x轴上找一点P，使为等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 7．如图，直线与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C的，与轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，且，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：当的值最大时，如图，过点作轴于点，交于点，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 10．如图，抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． (1)求抛物线的解析式： (2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由： (3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，与“蛋圆”中的抛物线 交于B，C两点． (1)求“蛋圆