2024年中考数学专题训练——二次函数与菱形

2024年中考数学专题训练——二次函数与菱形 1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交的正半轴于点，连接，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，过点作于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，对称轴交轴于点，连接，过作交于点，点为对称轴左侧抛物线上一点，点为平面上一点且，当四边形为菱形，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为(，0)，tan∠OBC＝． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程． 5．如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标． （3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为．在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于，交y轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； （3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+a+10（a<0）的顶点为P，作PM⊥x轴于M．点C是线段PM上一点，CD // x轴交抛物线于第一象限一点D，过线段CD的中点F，作EN⊥CD，交抛物线于点E，交x轴于点N，直线CN交y轴于G，点H在射线CN的延长线上． （1）求顶点P的坐标； （2）若四边形CNDE是菱形，求的值； （3）当GC=CN=NH时，若AN平分∠CAH，求a的值． 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若E是线段AC上方抛物线上一点，过点E作轴，交AC于H，F是EH的右侧，线段AC上方抛物线上一点，过点F作轴，交AC于Q，EH与FQ间的距离为2，连接EF，当四边形EHQF的面积最大时，求点E的坐标以及四边形EHQF面积的最大值； （3）将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N是平面内一点，点M为新抛物线对称轴上一点．B，C也随之平移，若以B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 9．综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A,B,C的坐标． （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由． （3）当点P在线段EB上