期末专题练习：二次函数中的特殊三角形问题2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习 二次函数中的特殊三角形问题 1．对于抛物线：，，，，我们把具备以上整数系数形式的抛物线称为“同族抛物线”． (1)写出以上有关“同族抛物线”共有的三点性质； (2)在“同族抛物线”中的第条抛物线与轴交于，两点，顶点为，是否存在为等边三角形，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)过点的直线垂直于轴，直线与“同族抛物线”中的两条相邻抛物线，相交于点，． ①若，求出线段的长与之间的关系式，并判断此关系式是否具备“同族抛物线”的性质； ②若两条相邻抛物线，分别与轴交于，两点，且直线不与重合，判断是否存在实数，使，若存在，求出实数，若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分别是方程的两根．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD． ①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； ②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E．      (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，抛物线的顶点为点，点在抛物线上，直线交轴于点．    (1)请直接写出抛物线的解析式及点的坐标； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，点为线段上一点，过点作的垂线交于点，交轴于点（点位于点右侧），当时， ①请求出点和点的坐标； ②请直接写出线段与的数量关系． 5．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点    (1)求抛物线的解析式 (2)如图2，过点A于作的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线位于线段下方的一个动点，联结，，，，当四边形面积最大时，求点P坐标． (3)如图3，连接，将绕点O逆时针旋转，记旋转中的三角形为，在旋转的过程中，直线与直线交于点Q，若为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．    (1)当时，求点A，B，M的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标； (3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，，．若，求的值． 11．抛物线经过点和点．    (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于