2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 2．已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时E点坐标； (3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 3．如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．                                     备用图 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式． (2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交线段于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)设，的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 6．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状； (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求b，c的值； (2)点E为抛物线上一点，且点E在x轴上方，连接，以点E为直角顶点，为直角边，作等直角，使得点D恰好落在直线上，求出满足条件的所有点E的坐标． 8．如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于点，直线交x轴于点B，交抛物线于点C（点C在第三象限）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，求的长； (3)若点P为线段上的一个动点，连接，以D为边向右作等边三角形．当点P从点A开始向右运动到点O时，线段扫过的面积为____________． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为，△AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中, 抛物线与轴交于点 和 点，与轴交于点, 顶点为． （1）求该抛物线的表达式的顶点的坐标； （2）将抛物线沿轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为, 点的对应点为． ①如果点落在线段上, 求的度数； ②设直线与轴正半轴交于点, 与线段交于点, 当时, 求平移后新抛物线的表达式． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标； （3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标． 12．如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及点C的坐标； (2)如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； (3)若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？