2024年中考数学专题训练——二次函数与直角三角形

2024年中考数学专题训练——二次函数与直角三角形 1．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点，点，抛物线与y轴交于点，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是下方异于点D的抛物线上一动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 5．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求二次函数的解析式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形的面积最大时求出此时点的坐标及四边形面积的最大值； (3)二次函数的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴交A、B两点（点A在点B左侧），其中，与y轴正半轴交于C点，连接，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，若P点为抛物线上位于第一象限的点，连接、交于点E，当的值为最大时，求P点的坐标及的最大值； (3)如图3，在（2）中将沿直线平移得，点A、O、C的对应点分别为、、，连接、，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 7．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、点在点的左侧，点在线段上运动（不与点、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)如图，过点作于点，当的周长最大时，过点作任意直线，把沿直线翻折，翻折后点的对应点记为点当的周长最大时： 求出点的坐标； 直接写出翻折过程中线段长度的取值范围是______ ． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．    (1)如图1，当时，求证：为直角三角形； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若． 直接写出n的值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点 是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．    (1)当点的坐标为时，直接写出的值； (2)关于的函数解析式为其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值； (3)在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t； ①当时，求点P的坐标； ②是否存在点P，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 12．如图，在直角坐标系中有，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A，B，C三点． (1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标； (2)过定点Q的直线与二次函数图象相交于M，N两点． ①若，求k的值； ②证明：无论k为何值，恒为直角三角形． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，