2024年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何问题

2024年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何问题 1．反比例函数中比例系数的几何意义为：如图，过双曲线上任意一点作轴于点、轴于点，则有，所以． 【问题背景】 如图2，点为反比例函数图象上任意一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交反比例函数于点． 【理解应用】 （1）求证： （2）连接，若时，求点的坐标． 【拓展迁移】 （3）点与点为反比例函数图象上一点，的坐标为，连接，，若，求点的坐标． 2．如图，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3，①当，求的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若3，当为“半直角三角形”时，求该反比例函数的解析式． 3．如图，为坐标原点，四边形是平行四边形，点在轴的正半轴上，所在直线的函数表达式为，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与边交于点，已知，点为的中点． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)过点作，交于点，点为直线上一动点，连接、，是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)P是x轴上的一点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点G是直线上的动点，连接，，若三角形的面积为6，求点G的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，已知点，，且，是关于的方程的两个根，点是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)若反比例函数的图象经过点，点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，在线段上取点，使得，是线段上的一动点，是双曲线与线段的交点，且满足，当取得最小值时，求的值． 6．如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，． (1)若的面积为4，求点的坐标； (2)求证：； (3)当时，求直线的函数解析式． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点． (1)当时，求A、B两点的坐标； (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线、分别交反比例函数图象的另一支于点和点，连接、和，交轴于点，交y轴于点G．若， ①求此时反比例函数的表达式． ②求四边形的面积． 8．如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点． 探究发现 （1）①若，则的面积为________，的面积为________； ②若，则的面积为________，的面积为________． 猜想验证 （2）①如图1，与的位置关系为________； ②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由． 图1                   图2 推广应用 （3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值． 9．如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的横坐标为1，C的坐标为，且满足． (1)求的表达式； (2)反比例函数L是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接，．    (1)反比例函数的表达式是______，点E的坐标为______； (2)点M为y轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点M的坐标；