专题10 三角函数的性质与正余弦定理（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题（新高考）

专题10 三角函数的性质与正余弦定理(选填题10种考法) 考法一 扇形的弧长与面积 【例1-1】(2023 甘肃定西 统考一模)古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画,题字作画的部分多为扇环,如图在长为50,宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面,扇面的外环弧线长为45,内弧线长为15cm,连接外弧与内弧的两端的线段均为14(外环半径与内环半径之差),若从矩形中任意取一点,则该点落在扇面中的概率为( ) A. B. C. D. 【例1-2】(2023 全国 模拟预测)莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形,他是由德国机械学家莱洛首先发现的,故而得名.它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线,如图所示.现在我们要制作一个高为10的柱形几何体,其侧面与底面垂直,底面为一莱洛三角形ABC,且正三角形ABC边长为2,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【变式】 1.(2023 江苏扬州 统考模拟预测)车木是我国一种古老的民间手工工艺,指的是用刀去削旋转着的木头,可用来制作家具和工艺品,随着生产力的进步,现在常借助车床实施加工.现要加工一根正四棱柱形的条木,底面边长为,高为.将条木两端夹住,两底面中心连线为旋转轴,将它旋转起来,操作工的刀头逐步靠近,最后置于离旋转轴处,沿着旋转轴平移,对整块条木进行加工,则加工后木块的体积为( ) 专题10 三角函数的性质与正余弦定理（选填题10种考法） 考法一 扇形的弧长与面积 【例1-1】（2023·甘肃定西·统考一模）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50，宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为14（外环半径与内环半径之差），若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为，则有，解得， 所以扇环面积为， 所以若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为. 故选：C. 【例1-2】（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为等边三角形， 所以， 则莱洛三角形ABC的面积， 则该柱形几何体的体积， 故选：D. 【变式】 1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】加工后木块的横截面的形状如图所示，    其中 O 为横截面的中心， , ，，计算可得 , :, 所以加工后木块的体积为 . 故选： B . 2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（    ）    A．高为 B．体积为 C．表面积为 D．内切球的半径为 【答案】B 【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，即；，即； 又圆台的母线长， 所以圆台的高，A正确； 圆台的体积，B错误； 圆台的表面积，C正确； 由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径， 所以内切球的半径为，D正确. 故选：B. 3．（2023·河北·统考模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为和，母线长为， 则甲、乙两个圆锥的高和， 由题意可得：，解得， 设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为和， 则，解得， 所以两圆锥侧面展开图的圆心角之和. 故选：C. 4．（2