二项式定理学案-2024届高三数学一轮复习

河北衡水中学2024届高三数学一轮复习 自助 第一组编人： 第二组编人： 校对人 审核： 日期： 二项式定理1 1．二项式定理及二项展开式的通项公式的应用 2．求展开式中的特定项或特定项的系数 (1)的展开式中的常数项为________． (2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． (3)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12　　　B．16 C．20　　　D．24 (4)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 b．求二项展开式中某项的二项式系数 (5))9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________． 变式思考： 已知n的展开式中第4项的二项式系数为20，则n的展开式中的常数项为(　　) A．60 B．－60 C．80 D．－80 2．二项式系数的性质及应用 a．二项式系数的和与各项的系数和问题 (6)若的展开式的二项式系数之和为8，则n＝________，其展开式中含项的系数为________．(用数字作答) (7)如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是(　　) A．0　 B．256　　C．64　　　D. (8)若(2x－1)5(x＋2)＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a5＝________． (9)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 (1)答案：28解析：二项式8的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)8－rr＝C·28－r·r·x8－r·r＝C·(－1)r28－4r·x8－4r，r∈{0，1，2，…，8}． 当8－4r＝0时，r＝2，此时T2＋1＝C×(－1)2×28－4×2＝28. (2)答案：16　5 解析：二项式(＋x)9的展开式的通项为Tr＋1＝C()9－rxr＝2Cxr，r∈{0，1，2，…，9}．由r＝0，得常数项是T1＝16；当r＝1，3，5，7，9时，项的系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5. (3)答案：A解析：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2×C＝12.故选A. (4) 答案：C 解析：(法一)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，由通项公式Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr(r≤5，r∈N)可知，当r＝2时含有y2项，∴含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.对于(x2＋x)3，由通项公式Tk＋1＝C(x2)3－kxk(k＝0，1，2，3)可知：当k＝1时含有x5项，∴(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5，∴x5y2的系数为CC＝30. (法二)∵(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积， ∴x5y2可从5个因式中的两个因式取y，两个因式取x2，一个因式取x， ∴x5y2的系数为CCC＝30. (5)答案：84　－ 解析：展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(9－r)r＝(－1)rCx18－3r(其中r＝0，1，…，9)， ∴T4＝(－1)3Cx9，故第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为(－1)3C＝－. 变式思考： 答案：A 解析：由题意可得C＝20， 即＝20，解得n＝6， 则6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－)rCx6－r，r＝0，1，…，6. 令6－＝0，解得r＝4，可得6展开式中的常数项为(－)4C＝4×15＝60. (6)答案：3　－1 解析：由题意得，2n＝8，所以n＝3.根据题意知3的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx9－3r·(－x－1)r＝(－1)rCx9－4r，其中r＝0，1，2，3.令9－4r＝－3，得r＝3，回代，得T4＝－Cx－3＝－x－3，即展开式中含项的系数为－1. (7)答案：D解析：根据n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，得展开式中的项数是2×4－1＝7，∴n＝7－1＝6.令x＝1，得展开式中的所有项的系数和是6＝.故选D. (8)答案：969　176 解析：在(2x－1)5(x＋2)＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6中，令x＝1，得3＝a0；令x＝2，得35×4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝972－3＝969.由(2x－1)5(x＋2)＝[2(x－1)＋1]5[(x－1)＋