2024年中考数学复习专题训练——圆的综合

2024年中考数学专题训练——圆的综合 1.如图,是的直径,是的弦,,垂足是点,过点作直线分别与,的延长线交于点,,且. (1)求证:是的切线; (2)如果,,求的长; 2.如图,已知是的外接圆,点D是的内心,的延长线与相交于点E,过E作直线. (1)求证:l是的切线; (2)连接,若,求的长. 3.如图,已知是的直径,与相切于点,交的延长线于点,过点作于点. (1)求证:; (2)若的半径为,,求的长. 4.如图,四边形是的内接四边形,连接,延长至点. (1)若,求证:; (2)若,⊙O的半径为2,求. 5.如图,在中,是直径,是弦,点C在上,于点E,,交的延长线于点F,且. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的长. 6.如图,是的外接圆,AB是直径,,且. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的半径. 7.如图,内接于,是的直径,过上的点作,交的延长线于点,交于点,点为的中点,连接. (1)求证:与相切; (2)若,,,求的长. 8.如图,在中,,,,的圆心在线段上,且它的半径为. (1)当点与点重合时,与直线具有怎样的位置关系 (2)如果沿直线移动(点沿直线移动),当等于多少时,与直线相切 9.如图,在等腰中,,以为直径的分别与边,交于,两点,交于点.连接交于点G. (1)求证:; (2)若,,求的半径. 10.已知:如图,中,,以为直径的⊙O交于点P,于点D. (1)求证:是⊙O的切线; (2)若,,求的值. 11.如图,为的弦,交于点,与过点的直线交于点,且. (1)试判断直线与的位置关系,并加以证明; (2)若,求的长. 12.如图,四边形是⊙O的内接四边形,且对角线经过⊙O的圆心O,过点A作,与的延长线交于点E,且平分. (1)求证:; (2)若⊙O的半径为5,,求的长. 13.如图,是的直径,C、D为上两点,于点F,交的延长线于点E,且. (1)求证:点C是的中点; (2)若,,求图中阴影部分的面积. 14.如图,为直径,、为上不同于、的两点,,连接.过点作交延长线于点,分别延长与交于点. (1)求证:为的切线; (2)当,时,求的长. 15.如图1,是的直径,点在的延长线上,,,是上半部分的一个动点,连接,. (1)当_时,的最大面积为_; (2)如图2,延长交于点,连接,且.求证:是的切线. 16.在中,半径垂直于弦,垂足为D,,E为弦所对的优弧上一点. (1)如图①,求和的大小; (2)如图②,与相交于点F,,过点E作的切线,与的延长线相交于点G,若,求的长. 17.如图,是的直径,是一条弦,D是的中点,于点E,交于点F,交于点H,交于点G. (1)求证:. (2)若,求的半径. 18.已知如图,中,是角平分线,平分交于点,经过、两点的交于,交于点,恰为的直径. (1)求证:与相切; (2)当,,求的直径. 试卷第6页,共7页 试卷第1页,共6页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)见解析 (2) 【分析】(1)连接,,利用圆周角定理,垂径定理,同圆的半径线段,等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可; (2)利用勾股定理在中求出,同理求出,,利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可. 【详解】(1)证明:连接、,如图, 是的直径, ,, ∵, 平分弦,平分, ,,, ∴, , , , , , , , , , , , 是的切线; (2)解:①,, ∴在(1)的结论中有,, 在中,, 同理利用勾股定理,可求得,, ,, 即, 在中,, 是的切线, , ∴在中,, , 解得:, . 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理,解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线. 2.(1)见解析 (2) 【分析】(1)连接,利用角平分线的性质和等腰三角形可得,再利用平行线的性质说明,即可证明结论; (2)利用垂径定理和勾股定理可得,在中,利用勾股定理可得的长. 【详解】(1)连接, ∵点D是的内心, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴为半径, ∴l是的切线; (2)在中,由勾股定理得,, ∴, ∵, ∴, ∴, 在中,由勾股定理得, . 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,垂径定理,圆的切线的证明等知识,熟练掌握圆的相关性质是解题的关键. 3.(1)见解析 (2)2 【分析】(1)根据切线的性质得出,根据是的直径,得出,根据半径相等可得,由,,等量代换即可得证; (2)根据已知得出进而求得,根据,即可求解. 【详解】(1)证明:连接, 切于, 半径, , , 是的直径, , , , , , ; (2)解:的半径为, , , , , , 的长是. 【点睛】本题考查了切线的性质,直径所对的圆周角是直角,正弦的定义,熟练掌握以上知识是