人教版八年级数学下寒假预习专题十五

数学八年级下寒假预习专题训练 专题十五 矩 形 【专题导航】 目录 【知识点一 矩形的定义及其性质】..........................................1 【知识点二 直角三角形斜边中线定理】.......................................3 【知识点三矩形的判定】....................................................6 【综合培优】..............................................................9 知识点一 矩形的定义及其性质 知识点拨：矩形具有平行四边形的所有性质，如矩形的对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分。 方法点拨：推理矩形的性质定理是由矩形的定义出发的，探究四边形的性质一般从边、角、对角线三个方面入手，对于矩形，推理过程要结合平行四边形的性质加以证明。 【典例剖析1】 【典例1-1】．矩形不具有的性质是( ) A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【典例1-2】．两个矩形的位置如图所示，若，则( ) A. B. C. D. 针对练习1 1．如图，在矩形中，O是对角线，的交点，于点E，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 2．如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 能力提升1 1．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 其中正确的是( ) A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④ 2．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA，PR的中点.如果，，则EF的长为______. . 解题技巧 利用矩形的性质进行推理证明计算时，注意结合平行四边形的性质，三角形中位线性质等。 知识点二 直角三角形斜边中线定理 知识点拨： 1. 该定理的应用前提是三角形必须是直角三角形。 2. “中线”必须是直角三角形斜边上的中线，直角边上的中线不满足此定理。 方法点拨： 直角三角形斜边上中线定理的推导借助了矩形的性质定理，其中应用了矩形的每一个内角都是直角和对角线互相平分的性质。 【典例剖析1】 【典例2-1】如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，工人师傅测得AC=3 km，BC=4 km，则M，C两点间的距离为 (　　) A. km B. 3 km C. 4 km D. 5 km 【典例2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5 cm，则EF=　　　　　cm.  针对练习2 1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，E，F分别是BD，AC的中点. (1).请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；(2).当AC=8，BD=10时，求EF的长. 2.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证： (1) .点D在BE的垂直平分线上； (2).∠BEC=3∠ABE. 能力提升2 1、如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. (1)求证：DF=HE. (2)小明说：“我发现了∠BAC=∠FHE.”请你判断小明的说法是否正确，并给出理由. 2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED.求证：EF⊥BD. 3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E. (1)求证：AE＝2CE； (2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由． 知识点三 矩形的判定 知识点拨： 1. 判定定理1有两个条件①对角线相等② 平行四边形。 2. 判定定理2是从角的方面来判定矩形，其中要求①内角个数是 3.②3个内角的度数都是90°. 方法点拨： 1. 矩形判定定理1的推理依据是矩形的定义推理得到的，证明过程借助了三角形全等证明其中一个内角是90°，矩形的判定定理1可以拓展为①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，②两组对边平行且对角线相等的四边形是矩形。 2. 矩形的判定方法有（1）定义，有一个内角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形。（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形。 【典例剖析3】 【典例3-1】．如图，