5.1.2垂线(2) 学案 2023-2024学年人教版数学七年级下册

第3 课时 垂 线(2) 课时目标 1. 了解垂线段及点到直线的距离的概念. 2. 掌握垂线段最短的性质,并能运用该性质解决生活中的一些实际问题. 重点:垂线段的性质及点到直线的距离的概念. 难点:点到直线的距离的判断及垂线段性质的应用. 知识梳理 温故 两点之间的距离: 如图①,点A、B之间的距离为 知新 1. 垂线段的定义:如图②,P为直线l外一点,PO⊥l,垂足为O,则 叫做点 P 到直线 l 的垂线段,A、B为直线l上的两点,线段 PA与PB 叫做斜线段. 2. 垂线的性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短,简称: 如图②,把 PO、PA、PB三条线段用“>”号连接起来: . 3. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 ,叫做点到直线的距离. 如图②,点 P到直线l的距离是 . 提示:点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一种数量.而垂线段是一条线段,是一个几何图形,所以不能说点到直线的距离就是垂线段. 例题设计 例1 如图,P 为直线 m 外一点,点A、B、C在直线m 上,且PB⊥m,垂足为 B,∠APC=90 ,则下列说法错误的是 ( ) A. 线段 PB 的长度叫做点P 到直线m 的距离 B. PA、PB、PC三条线段中,PB最短 C. 线段AC的长度等于点P 到直线m 的距离 D. 线段 PA的长度叫做点 A 到直线 PC 的距离 提示:本题中有两个垂直关系,即 PB⊥m,AP⊥PC.根据点到直线的距离的概念可知选项 A、D正确;根据垂线段的性质可知选项 B正确. 例2 如图,在河岸l的同侧有一村庄A 和自来水厂B,现要在河岸边建一抽水站D,把河中的水输送到自来水厂处理后,再送往 A 村.为了节省资金,所铺设的水管应尽可能的短,抽水站 D 应建在何处,应沿怎样的路线来铺设水管?请在图中画出来. 提示:要使水管最短,则抽水站与自来水厂间的路程应最短,自来水厂与A村的路程应最短. 反馈训练 1. 如图,能表示点到直线的距离的线段共有 ( ) A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条(1) 点B 2. 如图.(1)到直线AD的距离是 ,点 D 到直线AB的距离是 ; (2)在线段 DA、DB、DC中, 最短;在线段BA、BE、BD中, 最短. 3. 如图,点 M、N分别在直线l₁ 和 l₂上,画出三条线段,使它们的长分别是: (1) M、N两点间的距离; (2) 点M到直线l₂ 的距离; (3) 点 N 到直线 l₁ 的距离. 【课后巩固】 1.点到直线的距离是指 ( ) A. 直线外一点到这条直线的垂线段 B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C. 直线外一点与这条直线上任一点所连接的线段 D. 直线外一点与这条直线上任一点所连接的线段的长度 2.如图,一组同学在过点 B画线段AC 所在直线的垂线段 BE时,他们画出下列四种图形,其中错误的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图,PO⊥OR,OQ⊥PR,则点O到PR 所在直线的距离是线段 ( ) A. PO的长度 B. RO的长度 C. PQ的长度 D. OQ的长度 4.如图,在三角形ABC中,∠C=90 ,AC=3,P是边BC上的动点,则AP的长不可能是 ( ) A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 5.下列几个问题:① 如图①,把弯曲的河道 ACB改直为AB,就能缩短航程;② 如图②,把小河里的水引进田地 A处就作AB⊥l,垂足为 B,沿AB 挖水沟,水沟最短;③ 如图③,从 A 处到 B 处,有人为走近路不沿小路ACB走而是穿过草坪走 AB.其中运用“垂线段最短”这个性质的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ② D. ③ 6. 如图,AC⊥BC,AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,则点B到 AC 的距离是 ,点 A 到 BC 的距离是 ,点C到AB的距离是 7.如图,从书店到公路最近的是 号路线,数学道理是 8.如果线段PO与线段AB互相垂直,垂足为O,点O在点A、B之间,设点 P 到AB 的距离为m,点 P 到点A的距离为n,那么m、n的大小关系是 . 9.在田径比赛中,裁判测量参赛者跳远成绩的依据是 ;测量推铅球成绩的依据是 10. (12分)如图,已知三角形ABC. (1) 过点A画BC 的垂线; (2) 画出点 B到AC 的垂线段; (3)量出点C到AB 的距离. 11. (16分)如图,一辆汽车在笔直的公路上由 A 向B 行驶,M、N是位于公路AB 两侧的两个学校. (1) 若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响,问汽车行驶到何处时对学校影响最大? 在图上标出; (2) 当汽车从A 向B行驶时,在哪一路段上对两个学校的影响越来越大? 哪一路段上对 M学校的影响逐渐减小