21.2 解一元二次方程（第1课时）教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级上册

21.2 解一元二次方程 ( 第1课时 ) 一、 内容和内容解析 1. 内容 用开平方法及配方法解一元二次方程. 2. 内容解析 二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广，通过消元，将它们转化为一元一次方程求解；一元二次方程可以看成是对一元一次方程在“次”上的推广，通过“降次”把它转化为一次方程求解. 形如 的方程可以直接开平方求解. 如果通过配方将方程 化为 的形式，那么就可以利用开平方法求解了. 这就是配方法的基本思想. 本节课结合具体方程，通过将方程 配方化为能运用开平方法求解的方程的形式，进而求出方程的解. 配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式作好了知识上的准备，而且也是后续学习二次函数等知识的基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程. 二、目标和目标解析 1、目标 (1) 会用直接开平方法解一元二次方程. (2) 掌握配方的基本步骤、会用配方法解一元二次方程. (3) 在探究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想. 2、目标解析 达成目标(1) 的标志是：知道方程符合或时，能通过开平方，将二次方程转化为一次方程求解. 达成目标(2) 的标志是：知道配方的基本步骤，当二次项系数为1时，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可以把方程一边化为含有完全平方的式子；并知道解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤. 达成目标(3) 的标志是：能通过对比，发现二次项系数为1时，配方的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方；二次项系数不为1时，先将二次项系数化为 1. 三、教学问题诊断分析 学生在之前的学习中，已经掌握了完全平方式的结构特征，已经具有了一定的转化思想. 本节课首先研究的方程，可以根据平方根的意义直接开平方求解. 对需要合理变形转化为可以直接开平方形式的方程，学生在以前的学习中没有类似经验，可能出现思维障碍：配方法是怎样想到的“配方”到底“配”什么?配方中不能做到“恒等变形”，配方时， 只在方程一边加一次项系数一半的平方，而另一边不加. 基于以上分析，本节课的教学难点是：如何想到“配方法”. 四、教学支持条件分析 利用幻灯片，提供丰富的学习内容，如：人体雕像问题引例，用框图形式表示配方法解方程的全过程. 五、教学过程设计 1. 引入问题，获得思路 问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上) 与下部(腰以下) 的高度比，等于下部与全部(全身) 的高度比，可以增加视觉类感. 按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计为多高? 师生活动：教师展示章前引言问题，学生独立思考，列方程并整理得. 教师追问：这是一个一元二次方程，本节课将学习如何解这样的方程. 请同学们回忆一下，我们以前学过解哪些方程? 从这些方程的解法中，你能得到什么启发? 师生活动：学生回顾以前学习过的方程，教师引导学生得出： 解二元一次方程组、 三元一次方程组是通过“消元”，将方程转化为一元一次方程. 类比可知，课能设法把二次“降”为一次，那么就可以将一元二次方程转化为会解的一元一次方程了. 设计意图：通过类比“消元法”，得出解一元二次方程的基本思路——降次. 2. 探索“配方法” 问题2 我们的目标是要得到一元二次方程的一般解法. 为此，我们先从特殊的方程入手. 你会方程吗? 依据是什么? 师生活动：教师先引导学生判断方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系和常数项各是多少，再根据平方根的意义解方程 教师追问1：类似地，你能给出下列方程的解吗? 教师追问2：上述方程有什么共同点? 你能归纳一下这类方程的解的情况吗? 师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出一般形式 并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况. 教师板书. 设计意图：根据平方根的意义解一元二次方程 并根据p 的取值讨论出方程的解的三中情况，为探究配方法奠定基础. 问题3 如果我们把上述方程稍作变形，例如给定方程 你认为可以怎么解? 师生活动：学生独立思考，并给出解法. 不难想到，这一类方程与 没有实质差异，也可以根据平方根的意义，直接开平方求解. 教师可引导学生将解方程的过程叙述为：对方程两边开平方，将它转化为两个一元一次方程 或进行求解. 设计意图：让学生体会方程结构的特征，为后续实现化归奠定基础. 问题4 怎样解方程 师生活动：先让学生观察、尝试. 如果学生有困难，教师可以通过如下问题引导学生思考. 教师追问1：我们已经会解哪类一元二次方程? 能将这个方程转化为会解的形式吗? 如果学生有困难，教师再提出如下问题. 教师追问2：把方程的左边展开，得到 比较方程①②，你发现了什么? 由此你能得到方程①的解法吗? 教师追问3：把方程①化成方程的步骤是什么? 其中