6.2.4向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 课程目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，了解投影向量并会求投影向量，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 2 一、平面向量数量积的物理背景 力所做的功的计算 ★ 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方 向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为 其中 是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 【1】功W是一个数量，既涉及长度又涉及角度，且只与这两个量有关； 【2】当0≤θ＜90°时，W＞0；当θ=90°时，力的方向和位移的方向互相 垂直，W=0，力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，既力F做负功. 二、向量的夹角 O A B O A B 已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则 叫做向量 和 的夹角． O A B O A B 找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点 O （1）根据向量夹角的定义，两非零向量夹角是将两个向量的 起点移到同一起点（或同一终点），这样两向量所成的角才是这两个向量的夹角 例如，在ΔABC中，∠BAC不是CA与AB的夹角，∠BAD才是CA与AB的夹 角.其中AD是CA平移所得.（找向量夹角，要保证两向量共起点或共终点） （2）向量 与 之间的夹角θ的取值范围是[0，π]，这与两直线夹角的范围 是不一样的(向量有方向)，注意从定义上理解. （4）两向量垂直夹角是90°，即 （4）向量 与 的夹角也可以表示为 注意： （3） 三、平面向量数量积的概念 平面向量数量积的定义 【规定】零向量与任一向量的数量积为0 （2）向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其 大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定. （1）在书写数量积时， 与 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能不写. （3）设两个非零向量之间的夹角为θ，则当θ=0°时， ；当θ为锐 角时， ；当θ为直角时， ；当θ为钝角 时， ;当θ=180°时， 思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当0°≤θ ＜ 90°时 为正； 当90°＜θ ≤180°时 为负。 当θ =90°时 为零。 数量积符号由cos的符号所决定 ①两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算， 其结果是数量(而不是向量)，可以为正，可以为负，也可以为零. ②前面学习的向量的加法、减法和数乘，其结果全都是向量，但两个向量的数量积的结果是数量 ③我们规定了 与任意向量的数量积为0，但由 =0，不能推出 或 一定是零向量，这是因为两个向量垂直时，其夹角为90°，此时 ， 故也有 =0 . 0 ④要注意 =0，但0 注意： 例1： 例2： 9 练习 常用知识点 四、投影及投影向量 如图①，设 和 是两个非零向量，AB= ，CD= ，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量 上的投影向量. 如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线 ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 在向量 上的投影向量. 当θ为锐角或0度时，投影的数量为正值； 当θ为钝角或180度时，投影的数量为负值； 当θ为