海南省海南中学2023-2024学年高三上学期第5次月考数学试题

海南中学2024届高三年级第5次月考 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 命题： 审核： 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设复数，则（ ） A． B． C． D． 3．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设其经验回归方程为．已知，，，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ） A．160 B．165 C．170 D．175 4．在等比数列中，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点．若，则（ ） A． B．4 C． D．6 6．若正三棱台的上、下底面的边长分别为3和6，侧棱长为2，则其体积为（ ） A． B． C． D． 7．设，，且，则（ ） A． B． C． D． 8．若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．有一组样本数据，，，，，，，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．，，，，的众数等于，，，，，，的众数 B．，，，，的中位数等于，，，，，，的中位数 C．，，，，的方差不大于，，，，，，的方差 D．，，，，的极差不小于，，，，，，的极差 10．已知函数，将图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ） A．是奇函数 B．在区间上的值域为 C．在区间上单调递增 D．点是的图象的一个对称中心 11．设数列的前项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D． 12．已知函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ） A． B． C． D．在区间上至少有1012个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数是奇函数，则实数_________． 14．在的展开式中，的系数为_________． 15．已知是边长为4的正三角形，是边上的中线．现将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的表面积为_________． 16．在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知数列的前项和为，，，，其中为常数． （1）证明：； （2）是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分12分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，的面积为，周长为，求的最大值． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分） 某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； （3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打