预习04 平面向量基本定理及加减、数乘运算的坐标表示（八大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习04平面向量基本定理及加减、数乘运算的坐标表示 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 二、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. （2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底. （3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标. （4）坐标表示. （5）特殊向量的坐标: 三、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示 设向量则有下表 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知,则 四、平面向量共线的坐标表示 （1）条件: ,其中； （2）结论:当且仅当时,向量共线. 考点01基底的概念及辨析 【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【例1】下列说法错误的是（    ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【例2】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（多选）下列命题中是假命题的为（    ） A．已知向量，则，可以作为某一平面内所有向量的一个基底 B．若，共线，则 C．已知是平面的一个基底，若，则也是该平面的一个基底 D．若，，三点共线，则 【变式1-2】设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】（多选）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点02用基底表示向量 【方法点拨】用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 【例3】在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】在中，点为边中点，点在线段上，且，若，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于． (1)用和表示； (2)求证：． 【变式2-3】已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 考点03平面向量基本定理的应用 【例5】如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【例6】如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示 ；设，若，则的最小值为 ． 【变式3-2】已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 【变式3-3】在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 考点04求点或向量的坐标 【方法点拨】（1）求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标； （2）求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. 【例7】已知，，平面向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例8】若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点