江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷 一、单选题（40分） 1．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若过可作的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（20分） 9．已知，下列结论正确的是（    ） A．对任意实数 B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 10．已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．有两个极值点 C．，都能使方程有三个实数根 D．曲线是中心对称图形 11．若，分别为的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 12．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 三、填空题（20分） 13．已知函数在上可导，且，则 ． 14．已知函数，若关于x的方程有4个不相等的实数根、、、，则的取值范围是 . 15．设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则的最小值的取值范围是 ． 四、解答题（70分） 17．已知x满足. (1)求的取值范围； (2)求函数的最小值. 18．已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围. 19．如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点． (1)求证：平面平面PBC； (2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值． 20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短半轴长为1，点在椭圆E上运动，且的面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)当点为椭圆的上顶点时，过点分别作直线，交椭圆E于M，N两点，设两直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 21．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 22．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：． 江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期期末数学答案 1．B【详解】，所以，故选:B. 2．A【详解】由不等式，可得，即，解得，结合选项，可得的一个必要不充分条件为.故选：A. 3．A【详解】因为函数（且）的图象过定点，则，可得，所以，，因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数，且，， 由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.故选：A. 4．A【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，则，所以，则当时，，当时，，则， 则当时，不等式为，解得，当时，不等式为， 解得，故不等式的解集为，故选：A. 5．D【详解】由于，定义域为故，定义域为，，即不是奇函数，A错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，B错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，C错误；，定义域为，，即为奇函数，D正确， 6．A【详解】，设，因为，因此有两个不同实根，又，因此两根一正一负，由题意正根在内， 所以，解得，故选：A． 7．B【详解】因为，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；又的图象上存在关于y轴对称的两点，所以这两个对称点分别位于与的图象上；设在的图象上，则在函数的图象上，且，故有，即，进而；设，则，又恒成立，故在上单调递增，所以，即，令，则在上恒成立，故在上单调递减，故，则，于是．故选：B． 8．A【详解】设切点为，切线的斜率，则切线方程为：，把点代入可得，化为：，则此方程有大于0的两个实数根．则，即，则，故选：A． 9．BC【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，因为，，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值是，故C正确；对于D，当时，，，，故D错误.故选：BC. 10．BCD【详解】对于A：，，曲线在点处的切线方程为，故A错误；对于B：令，得或；令，得，