模型02 角平分线模型- 【一战成名新中考】2024辽宁中考数学·培优册

培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 二 　 角 平 分 线 模 型 模型二　角平分线模型 类型１　作垂线构全等 条件 ＯＰ平分∠ＭＯＮ， ＰＡ⊥ＯＭ 辅助线 作法 过点 Ｐ作射线 ＯＮ 的垂线ＰＢ 结论 ＡＰ＝　ＢＰ　； △ＡＯＰ≌△ＢＯＰ 针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝ ５，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，设△ＡＢＤ和 △ＢＤＣ的面积分别是 Ｓ１，Ｓ２，则 Ｓ１∶Ｓ２的值 为 （　Ｂ　） 第１题图 Ａ．５∶２ Ｂ．２∶５ Ｃ．１∶２ Ｄ．１∶５ ２．如图，在等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝４， ＣＤ平分∠ＡＣＢ交 ＡＢ于点 Ｄ，则 ＡＤ的长 为 　４槡２－４　． 第２题图 ３．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝９０°，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，ＡＢ＝８，ＢＤ＝１３，ＢＣ＝１２，则四 边形ＡＢＣＤ的面积为　５０　． 第３题图 类型２　截取等线段构全等 条件 ＯＰ平分∠ＭＯＮ 辅助线 作法 作ＡＰ关于ＯＰ的 对称线段ＢＰ 结论 △ＡＯＰ≌△ＢＯＰ 针对训练 ４．多解法 獉獉獉 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｂ，ＣＤ 是∠ＡＣＢ的平分线，求证：ＡＤ＝ＢＣ－ＡＣ． 第４题图 证明：解法１（截长）：如解图①，在ＢＣ上截取ＣＥ ＝ＡＣ，连接ＤＥ， ∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＤ， 在△ＡＣＤ和△ＥＣＤ中， ＣＤ＝ＣＤ， ∠ＡＣＤ＝∠ＥＣＤ， ＡＣ＝ＣＥ { ， ∴△ＡＣＤ≌△ＥＣＤ（ＳＡＳ）， ∴∠Ａ＝∠ＤＥＣ，ＡＤ＝ＤＥ， ∵∠Ａ＝２∠Ｂ，∴∠ＤＥＣ＝２∠Ｂ＝∠Ｂ＋∠ＢＤＥ， ∴∠Ｂ＝∠ＢＤＥ，∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＡＤ， ∴ＡＤ＝ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝ＢＣ－                ＡＣ． 解法２（补短）：如解图②，延长 ＣＡ至点 Ｆ，使 ＣＦ ＝ＣＢ，连接 ＤＦ，可证△ＣＤＦ≌△ＣＤＢ，得∠Ｆ＝ ∠Ｂ，推出∠Ｆ＝∠ＡＤＦ，则ＡＤ ＝ＡＦ，则可推出 ＡＤ＝ＢＣ－                                                            ＡＣ． ５ 培优册·辽宁数学 模 型 方 法 篇 模 型 二 　 角 平 分 线 模 型 类型３　巧用“三线合一”构等腰 条件 ＯＰ平分∠ＭＯＮ， ＡＰ⊥ＯＰ 辅助线 作法 延长 ＡＰ交 ＯＮ 于点Ｂ 结论 △ＡＯＰ≌△ＢＯＰ 针对训练 ５．如图，已知△ＡＢＣ的面积为 １２，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，且ＡＤ⊥ＢＤ于点 Ｄ，则△ＡＤＣ的面 积是 （　Ｃ　） 　　　　　　　　　　　　　　　 第５题图 Ａ．１０ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．４ ６．（优质原创）如图，ＡＢ＝１３，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ＢＤ⊥ＡＤ于点 Ｄ，连接 ＣＤ，ＡＣ＝１３２，则 ＣＤ 的长度为 ． 第６题图 ７．多解法 獉獉獉 如图，在等腰直角三角形 ＡＢＣ中， ∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＥ⊥ ＢＤ于点Ｅ，若△ＢＣＤ的面积为１６，则ＢＤ的 长为 （　Ｂ　） 第７题图 Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．４ 类型４　作边或角平分线的平行线构等腰 条件 ＯＰ平分∠ＭＯＮ 辅助线 作法 过点Ｐ作 ＰＱ∥ＯＮ 交ＯＭ于点Ｑ 结论 △ＯＰＱ是等腰三 角形 针对训练 ８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于 点Ｄ．若ＡＢ＝４，ＡＣＣＤ＝ ８ ５，则ＢＤ＝ ． 第８题图 ９．多解法 獉獉獉 如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ ＝３，ＢＣ＝４，∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ的平分线相交 于点Ｅ，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，则 ＥＦ＝ ． 第９题图 １０．多解法 獉獉獉 如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线， ∠ＡＢＣ的平分线交ＤＥ于点Ｆ，ＡＢ＝８，ＢＣ ＝１２，则ＥＦ的长为 （　Ｃ　） 第１０题图 Ａ．１ Ｂ．１．５ Ｃ．２ Ｄ．２．                                                                          ５ ６ 一战成名·辽宁数学 培 优 册 ８．７６　【解析】如解图，连接ＡＥ，∵ＤＥ垂直平分线段ＡＢ，∴ＡＥ ＝ＢＥ，设ＡＥ＝ＢＥ＝ｘ，则 ＣＥ＝ｘ－３，在 Ｒｔ△ＡＣＥ中，由勾股 定理得ＡＥ２＝ＡＣ２＋ＣＥ２，∴ｘ２＝４２＋（ｘ－３）２，解得 ｘ＝２５６， ∴ＣＥ＝２５６－３＝ ７ ６． 第８题解图 　　　 第９题解图 ９