第五章 一元函数的导数及其应用 （知识清单） -【上好课】 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

选择性必修二 第五章 一元函数的导数及其应用 知识点清单 一、本章思维导图 5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 知识点一　平均速度与瞬时速度 (1)平均速度：设物体运动的位移与时间的关系是s＝s(t)，从t0到t0＋Δt时间段内的平均速度＝＝. (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 若物体运动的位移与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，平均速度趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度，记为 . 【易错点】 (1)“Δt→0”读作Δt趋近于0，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值 趋近于一个确定的常数，此时该常数才称为t0时刻的瞬时速度． 【解题秘籍】求平均变化率的步骤 物体的运动方程为y＝f(x)，求在区间[x0，x]的平均变化率的步骤： (1)求时间的改变量Δx＝x－x0； (2)求函数值的变化量Δy＝f(x)－f(x0)； (3)求平均变化率. 典例：某质点运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　) A．－4 B．－8 C．6 D．－6 【解析】由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6. 【答案】　D 【解题秘籍】求运动物体瞬时速度的步骤 第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步：求平均速度＝； 第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数，即v＝ . 典例：一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率． 因为质点M在t＝2附近的平均变化率为＝＝ ＝4a＋aΔt， 所以 ＝4a＝8， 解得a＝2. 知识点二　割线斜率与切线斜率 (1)割线与切线的关系 如图所示，当点Pn(xn，f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． (2)割线斜率与切线斜率的关系 割线P0Pn的斜率是kn＝，当点Pn沿着曲线无限接近点P0时，kn无限趋近于切线P0T的斜率k0，即k0＝ (Δx＝xn－x0)． 典例：求函数y＝在x＝2处的切线方程． 【解】　因为Δy＝－＝－1 ＝－， 所以＝－， 所以k＝ ＝ ＝＝－1. 又x＝2时，y＝＝1. 所以切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0. 【解题秘籍】求函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率的步骤 典例：已知函数f(x)＝ax2＋b在点(1，3)处的切线的斜率为2，则＝________． 解析：因为f(x)在点(1，3)处的切线的斜率为2，又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a， 所以2a＝2，所以a＝1.又f(1)＝a＋b＝3， 所以b＝2.所以＝2. 答案：2 5．1.2　导数的概念及其几何意义 知识点一　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 【易错点】 (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比． 【解题秘籍】求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的变化量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的变化量Δx＝x1－x0； (3)最后求平均变化率＝. 典例：求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 解：因为f(x)＝3x2＋2，所以f(x0)＝3x＋2. f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋2， 所以f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2， 所以f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝6x0＋3Δx. 所以当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 知识点二　导数的概念 (1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)．