第四章　数列 （知识清单） -【上好课】 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

选择性必修二 第四章　数列 知识点清单 4．1　数列的概念（第1课时）数列的概念及通项公式 知识点一　数列及其有关概念 (1)数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 【易错点】 (1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性．数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，例如1，2，3，…与3，2，1，…就是不同的数列． (2)符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列{an}中的第n项． 知识点二　数列的分类 (1)按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 (2)按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 【解题秘籍】数列类型的判断 在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．是递增、递减还是常数列要从项的变化趋势来分析；而是有穷还是无穷数列则要看项的个数是有限还是无限． 知识点三　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表． 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值 表示 方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 【易错点】(1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2，an＝cos nπ等． 知识点四　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 思考　既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？ 答案　还可以用列表法、图象法． 【解题秘籍】根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 典例：1.若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝(　　) A．8　　　　 B．15 C．24　　　　 D．35 解析：选C.由通项公式可得a6＝6×4＝24. 2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)2×3，3×4，4×5，5×6，…； (2)1，2，3，4，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，0，－1，0，…. 解：(1)由2×3＝(1＋1)×(1＋2)，3×4＝(2＋1)×(2＋2)，4×5＝(3＋1)×(3＋2)，5×6＝(4＋1)×(4＋2)，… 可得an＝(n＋1)(n＋2)． (2)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N*)． (3)联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝(10n－1)，即an＝(10n－1)． (4)an＝是此数列的一个通项公式． 由于－1＝－－，0＝－＋. 联想到(－1)n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝. 【解题秘籍】求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，