河北省金科大联考2023-2024学年高三上学期1月质量检测数学试题

绝密★启用前 金科大联考·2024届高三1月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为不共线平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（ ） A. 甲组数据的中位数为10 B. 乙组数据的第75百分位数为9.5 C. 甲､乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 10. 已知圆台上､下底面半径分别为1，2，且上下底面圆周均在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（ ） A. 圆和圆外切 B. 直线斜率的最小值为0 C. 直线斜率的最大值为 D. 面积的最大值为7 12. 已知，则（ ） A. B. C D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知为定义在上的奇函数，当时，且，若，则__________． 14. 设等差数列的前项和为，若，则__________． 15. 已知函数，将图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________． 16. 已知椭圆为的左､右焦点，为上的一个动点（异于左右顶点），设的外接圆面积为，内切圆面积为，则的最小值为__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 17. 记锐角中内角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 18. 一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为． （1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件； （2）求的分布列与数学期望． 19. 如图，在四棱锥中，平面，在棱上，平面，设． （1）求； （2）若点到平面的距离为1，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 设为数列的前项和，已知为等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，设，记为数列前项和，证明：． 21. 已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，且的最小值为2． （1）求的方程； （2）过且与垂直的直线交于两点，设直线的中点分别为，过坐标原点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 22. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 绝密★启用前 金科大联考·2024届高三1月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标