专题30 等比数列通项与前n项和-2024年新高考数学高频考点+重点题型

学科网（北京）股份有限公司 专题30等比数列通项与前n项和公式 一、核心体系 等比数列 二、关键能力 1.理解等比数列的概念．　 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．　 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．　 4.了解等比数列与指数函数的关系． 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2022年高考将会: 1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量； 2．等比数列的性质及应用. 3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性． 四、自主梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列及前n项和的性质 (1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab. (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． 【必会结论】等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列． 五、高频考点+重点题型 考点一、等比数列的基本量运算 例1-1.【2022年全国乙卷】已知等比数列的前3项和为168，，则（       ） A．14 B．12 C．6 D．3 例1-2.(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 例1-3、若{an}为等比数列，a5＋a8＝－3，a4a9＝－18，则a2＋a11＝______________. 训练题组一 1.(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1　　　　　　　　 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 2.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________． 训练题组二 1． 在数列中，，且，则___________. 2.【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 训练题组三 1. 设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于(　 　) A. 230 B. 210 C. 220 D. 215 考点二、等比数列的性质应用 例2-1.（2020·全国高三二模（理））已知数列是等比数列，若，则（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 例2-2.在等比数列{an}中，公比为q，已知a1＝1，则是数列{an}单调递减的(　　) A. 充分不必要条件　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　 D. 既不充分又不必要条件 例2-3.（2023·全国Ⅱ高考T8）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 例2-4. (2021·沈阳二模)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1