2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图1，抛物线过、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当时，若点Q是直线下方抛物线上的一个动点，过点Q作于点D，当的值最大时，求此时点Q的坐标及的最大值． 3．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 4．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点T为对称轴直线上一点，则的最大值为多少？ 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y交y轴于点C，交x轴于A、B两点，，，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），轴，交直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值； 6．如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求m的值及直线的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点Q为的中点，连接，动点P在第一象限的抛物线上运动，过点Р作x轴的垂线．垂足为H，交于点M，交直线于点J，过点M作，垂足为N．是否存在与和的最大值﹖若存在，求出与和的最大值；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．点在直线上运动（点不与点、重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)求线段的长．（用含的代数式表示） (3)以为边作矩形，使轴，且点的横坐标为． ①当矩形的面积被坐标轴平分时，求的值． ②当矩形的周长随的增大而增大，且矩形的边与抛物线有两个交点时，直接写出的取值范围． 9．如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作交对称轴于点F，在直线下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作轴交直线于点Q，过点P作交于点E，求最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M是新抛物线上一点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是以为对角线的菱形，若存在，求所有符合条件的点N的坐标． 10．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若，， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)F为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，， 为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求二次函数表达式和点D的坐标； (2)连接、，求外接圆的半径； (3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值； (4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程． 13．如图1，二次函数的图象与x轴交于点和，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)求二次函数的函数解析式； (2)如图1，点P在直线上方的抛物线上运动，过点P作交于点D，作轴交于点E，求的最大值及此