技能6 轨迹问题中的“主从联动”（瓜豆原理）-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册优质课件PPT

模块二 技能方法篇 技能6 轨迹问题中的“主从联动”（瓜豆原理） 四川数学 数学 1 类型1 直线轨迹（成都2023.26） 模型解读 问题：（1）如图1，点 是直线 外一定点，点 是直线 上一动点，连接 ，取 的中点 ，当点 在直线 上运动时，点 的轨迹是什么图形？ 图1 2 （2）如图2，点 是直线 外一定点，点 是直线 上一动点，连接 ， 以 为腰作等腰三角形 ，且 ，当点 在直线 上运动时， 点 的轨迹是什么图形？ 图2 3 思路：（1）定点到定直线的距离相等；（2）定角等比构造全等. 作法：（1）如图3，过点 , 分别作直线 的垂线 ， ，则 ， 且 ， 是定值， 是定值，即点 到直线 的距离始终 相等， 点 的轨迹是平行于直线 的一条直线. 图3 4 （2）如图4，当点 运动到点 时，以 为腰作等腰三角形 ，且 ， ， ， ， ， , ，直线 与直线 的夹角 为 ，即点 的轨迹为直线 . 图4 5 总结：定点 为直线（线段）外一点，主动点 为直线上一点，从动点 为任意一点，若 为定角， 为定值，则从动点 的轨迹为一条直 线（线段）.如问题（1）中定角为0，定值为 ；问题（2）中定角为 ， 定值为1. 6 典例精析 例： 如图，在矩形 中， ，， 点 是对角线 上的一个动点，连接 ，以 为斜 边作 的直角三角形，使点和点位于 两侧，点 从点 到点 的运动过程中，点 的运动路径长是_ ___. 7 【思路剖析】点 从点 到点 ，运动轨迹为线段， 是定值，且 是定值， 点 的轨迹也是一条线段，起点为点 与点 重合时点 的位置，终点为点 与点 重合时点 的位置，再通过解直角三角形求得轨迹长. 8 【解析】如解图1，由题知，在运动过程中，， , ,， , , 都在线段上，,也在同一条线段上. 解图1 9 在矩形中，，， ，， ，， 当点 与点重合时，在中， ， ，， ，； 当点与点 重合时，，， ，在中， . 解图2 10 针对训练 第1题图 1.如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以 为边 向右侧作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为_ _. 11 第1题解图 【解析】 为定角， 为定值，点在 线段 上运动，点 的运动轨迹也为线段，如解图， 即为点 的运动轨迹，过点 作 于点， 则 即为所求最小值.过点 作 于点 ， 由题知 ， , 四边形 为 矩形，且 , , , . 12 第2题图 2.如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上， ，动点 从点 出发， 沿 方向运动到点 停止，过点 作 垂直 交射线 于点 ，如果 是线段 的中点，那 么点 在运动的过程中，点 运动的路径长为_ _. 13 第2题解图 【解析】如解图，当点 在 上运动时， 点 在射线 上运动，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，易得 是 的中位线， ，点 的轨迹是一条线段.连接 ，过点 作 交射线 于点 ，取 的中点 ，当点 与点 重合时， 点 在点 位置，当点 与点 重合时，点 在点 位置，即点 的轨 迹为线段 ， ， ， ， 14 中， ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， ，易得 是 的中位 线， ， 点 运动路径的长为 . 类型2 圆轨迹 模型解读 问题：（1）如图1，点 是 外一定点，点 是半径为 的 上一动 点，连接 ，取 的中点 ，当点 在 上运动时，点 的运动轨 迹是什么图形？ 图1 16 （2）如图2，点 是 外一定点，点 是半径为 的 上一动点，连 接 ，点 是平面内一点，且 ， ,当点 在 上运 动时，点 的运动轨迹是什么图形？ 图2 17 思路：（1）定点到定圆上动点的距离比相等；（2）定角等比构造相似. 作法：（1）如图3，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ， 且 ， 点 ,点 是定点，点 是定点，即为圆心； ， 为定长，即为半径， 点 的运动轨迹是以 为 圆心， 为半径的圆. 图3 18 （2）如图4，连接 ， ，以 为顶点，作 ，且， ，，，， 为定值， ， 点 的运动轨迹为以为圆心，为半径 的圆.当 ， 时即为问