技能5 圆中最值与辅助圆-【一战成名新中考】2024四川中考数学·培优册优质课件PPT

模块二 技能方法篇 技能5 圆中最值与辅助圆 四川数学 数学 1 （一）显性圆中的最值问题 类型1 点圆最值 模型解读 已知： 的半径为 ， 是平面内一定点， 是圆上一动点，确定 的最值. 2 点 位置 在圆内 在圆外 图示 解决方案 “一箭穿心”定交点 ，“近点”有最小值，“远点”有最 大值； 原理：直径是圆内最长的弦 最大值 （即 ） （即 ） 最小值 （即 ） （即 ） 3 典例精析 例：如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一点， ，且 , 与 轴分 别交于 , 两点，若点 ，点 关于原点 对称，则 的最大值为____. 28 【思路剖析】有直角和斜边中点构造斜边中线，斜边中线的最大值即为斜 边的最大值.连接 并延长交 于点 ，则当点 与点 重合时 的值最大，即 的值最大. 4 解图 【自主解答】如解图，连接 ， ， ， 点 ，点 关于原点 对称， ，，若要使 取得最大值，则 需取得最大值.连接 并延长交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，即 取得最大值， 过点 作 轴于点 ，则 , ， ，又 ，， . 5 针对训练 第1题图 1.【多解法】如图，正方形 的边长为4， 的半径 为1.若 在正方形 内平移（ 可以与该正方形 的边相切），则点 到 上的点的距离的最大值为 _ ________. 6 第1题解图1 【解析】方法1：如解图1，取 上任一点 ， 则 ,过点 分别作 于点 ， 于点 ， 设 , ，则 , , 则, 当 , 时， 有最大值， , . 7 方法2：当 与 ， 相切时，点 到 上的点 的距离最大， 如解图2，过点 分别作 于点 ， 于点 ， ， 平分 ， 四边形 为正方形， 点 在 上， ， ， ，即点 到 上的点的 距离的最大值为 . 第1题解图2 8 第2题图 2.如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ， 是以点 为圆心，2为半径的圆上的动点， 是线 段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是_ _. 9 第2题解图 【解析】如解图，连接 ，当 时， ， 解得 ， ，则 ， , ，是线段 的中点， 为 的 中位线，， 当 最小时， 最小， 当直线 过圆心 ，即点 运动到 位置时， 最小， ， ， 线段 的最小值是 . 10 类型2 线圆最值 模型解读 已知： 的半径为 ，圆心 到定直线 的距离为 ，点 是圆上一 动点，确定 到直线 的最值. 11 直线 与 的位置 相离 相切 相交 图示 解决方案 过点 作 的垂线，交 于点 ，交直线 于点 最大值 最小值 0 0 12 典例精析 例： 如图，已知直线 与 轴, 轴分别交于 , 两点， 是以 为圆心，1为半径的圆上一动点，连接 , ,则 面积的最小值是_ __. 【思路剖析】底边 是定值，故底边上的高 最小时，三 角形的面积最小.过点 作 的垂线 ，则 的最小值即 为 的值可由等面积法求得. 13 例题解图 【自主解答】如解图，过点 作 于点 ，连接， 直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点， 令，则 ，令，则 ，点， 点 ， ， ， ，则由三角形面积公式得 ， ， ， 上一点到直线 的最小距离是 ， 面积的最小值是 . 14 针对训练 1.已知 的半径为3，直线 与 相切于点 ，点 是 上一动点， 则点 到直线 的距离不可能是( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 7 √ 15 第2题图 2.如图， 是 的弦，是优弧 上一点，连接 ， ，若 的半径为4，，则 面积的 最大值为_ _____. 16 第2题解图 【解析】如解图，当 时， 的面积最大， 则 ，， ，， ， ， ，， ， ， 面积的最大值为 . 17 类型3 过圆内一点（非圆心）的弦的最值问题 模型解读 已知：半径为 的 内一定点 ， 为过点 的弦，确定 的最值. 最值 最大值： 最小值: 图示 原理 直径是圆内最长的弦 垂径定理和勾股定理 18 典例精析 例：如图，在平面直角