2024年数学中考专题特训：四边形（解答题篇）

2024年数学中考专题特训：四边形（解答题篇） 1．在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 2．问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：请你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 3．如图，在菱形中，对角线相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点M，过点D作，垂足为点N，若，求的长． 4．取一张矩形纸片，E为边上一动点，将沿直线折叠得．    (1)如图1，连接，，，当时，试判断的形状； (2)如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值； (3)如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接CH，试探究线段与CH的数量关系． 5．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)点是线段上一点，满足交于点． ①求证：； ②若，求的长． 6．如图，在，，，将点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求度数． 7．如图，在菱形中，点分别在边上，．求证：． 8．如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 9．如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证： (2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想. 10．如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如果，求的值． 11．如图，在菱形中，，，点P为对角线上任一点，过点P作分别交于点E、F，过点P作分别交于点交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)选做题：若，①沪科版：求的长；②人教版：的面积． 12．在四边形中，，，，，点从出发以的速度向运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． 若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 13．综合与实践 活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于E，延长交于F． 【问题探究】 (1)如图2，当点H与点C重合时，与的大小关系是______；是______三角形． (2)如图3，当点H为边上任意一点时（点H与点C不重合），连接，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)在（2）条件下，当，时，CF的长为______． 14．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)若，，，求的长． 15．如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． (1)求证：平分； (2)求的半径． 16．如图，在中，，，为边上的中线.点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动.同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点A运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形.设点运动的时间为秒. (1)的长为______； (2)求点到的距离；（用含的代数式表示） (3)当点落在上时，直接写出的长； (4)连接，当与平行或垂直时，直接写出的值． 17．如图，是的外接圆，，连接交于点E，过点A作的平行线交延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求线段的长． 18．如图，在矩形中，为边中点，连接，过点作交于点，交于点．